作者hcsoso (索索)
看板Math
標題Re: [複變] 關於冪級數展開中, 係數比的極限
時間Thu Jan 20 14:02:52 2011
1F：→ ppia :沒有惡意. 但是我真的有點懷疑第一種方法可以解的 01/20 02:53
2F：→ ppia :出來 因為在那種展開式裡面我們很難用到 g(z_0)!=0 01/20 02:54
3F：→ ppia :這件事 然而這件事沒有用上的話這題是做不出來的 01/20 02:54
4F：推 hcsoso :其實可以, 我等等寫出那種解法. 當然會用到~ 01/20 12:18
5F：→ hcsoso :不過, 分析的過程並不簡單, 我想可能沒有你的方法好! 01/20 12:19
寫一下 simple pole 的解法好了.
令 f(z) = g(z) / (z - z_0), f(z) = Σa_n z^n, g(z) = Σb_n z^n.
我們知道 g(z) 在 Ω 上解析, 且 g(z_0) != 0. (不然 f(z_0) 就存在了.)
將 1 / (z - z_0) 用冪級數在 |z| < |z_0| = 1 展開,
再跟 g(z) 的冪級數展開作 convolution, 與 f(z) 的冪級數展開作比較係數, 得到
n -n-1+k -n-1 n
a_n = -Σ b_k z_0 = -z_0 Σ b_k z_0^k,
k=0 k=0
因此 |a_n| -> g(z_0) 當 n 趨近無限大.
根據 g(z_0) != 0, 我們知道 |b_n / a_n| -> 0, 然後再根據
b_n / a_n = a_{n-1} / a_n - z_0 就得到我們的結果了.
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higher order poles 會更麻煩, 要用到 D^k g(z_0) != 0,
然後有一堆奇奇怪怪的二項式係數, 很可怕不要問...
基本上 (k+1)-pole 最後算出來會是 a_n = -z_0^{-n-1} D_k g(z_0).
※ 編輯: hcsoso 來自: 140.112.30.33 (01/20 14:52)
6F：推 ppia :ㄟ～ 其實你的寫法跟我第一樣啊, 我的意思是 01/20 15:12
7F：→ ppia :如果寫成 b_n = a_n- z_0 a_{n-1} 就是"用a_n表b_n" 01/20 15:13
8F：→ ppia :那應該就寫不太出來了 01/20 15:14
9F：→ hcsoso :寫成這樣只是為了最後同除 a_n :P 01/20 16:13
10F：→ hcsoso :你的 a_n 跟 a_{n-1} 要對調~ 01/20 16:13
11F：→ hcsoso :所以結果骨子裡是同一個方法 XD 01/20 16:14