作者hcsoso (索索)
看板Math
标题Re: [复变] 关於幂级数展开中, 系数比的极限
时间Thu Jan 20 14:02:52 2011
1F：→ ppia :没有恶意. 但是我真的有点怀疑第一种方法可以解的 01/20 02:53
2F：→ ppia :出来 因为在那种展开式里面我们很难用到 g(z_0)!=0 01/20 02:54
3F：→ ppia :这件事 然而这件事没有用上的话这题是做不出来的 01/20 02:54
4F：推 hcsoso :其实可以, 我等等写出那种解法. 当然会用到~ 01/20 12:18
5F：→ hcsoso :不过, 分析的过程并不简单, 我想可能没有你的方法好! 01/20 12:19
写一下 simple pole 的解法好了.
令 f(z) = g(z) / (z - z_0), f(z) = Σa_n z^n, g(z) = Σb_n z^n.
我们知道 g(z) 在 Ω 上解析, 且 g(z_0) != 0. (不然 f(z_0) 就存在了.)
将 1 / (z - z_0) 用幂级数在 |z| < |z_0| = 1 展开,
再跟 g(z) 的幂级数展开作 convolution, 与 f(z) 的幂级数展开作比较系数, 得到
n -n-1+k -n-1 n
a_n = -Σ b_k z_0 = -z_0 Σ b_k z_0^k,
k=0 k=0
因此 |a_n| -> g(z_0) 当 n 趋近无限大.
根据 g(z_0) != 0, 我们知道 |b_n / a_n| -> 0, 然後再根据
b_n / a_n = a_{n-1} / a_n - z_0 就得到我们的结果了.
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higher order poles 会更麻烦, 要用到 D^k g(z_0) != 0,
然後有一堆奇奇怪怪的二项式系数, 很可怕不要问...
基本上 (k+1)-pole 最後算出来会是 a_n = -z_0^{-n-1} D_k g(z_0).
※ 编辑: hcsoso 来自: 140.112.30.33 (01/20 14:52)
6F：推 ppia :ㄟ～ 其实你的写法跟我第一样啊, 我的意思是 01/20 15:12
7F：→ ppia :如果写成 b_n = a_n- z_0 a_{n-1} 就是"用a_n表b_n" 01/20 15:13
8F：→ ppia :那应该就写不太出来了 01/20 15:14
9F：→ hcsoso :写成这样只是为了最後同除 a_n :P 01/20 16:13
10F：→ hcsoso :你的 a_n 跟 a_{n-1} 要对调~ 01/20 16:13
11F：→ hcsoso :所以结果骨子里是同一个方法 XD 01/20 16:14