作者kai25 (喵烏)
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標題Re: [中學] 幾題甄選題
時間Fri Jan 21 15:07:50 2011
※ 引述《ristvakbean (有夠優秀)》之銘言：
: (5)對每個正整數n，拋物線y=(n^2+n)x^2-(2n+1)x+1與x軸交於A,B兩點，以線
: 段AB表示A,B兩點之距離，求sigma(1~2003)線段AB
: Ans:2002/2003(覺得答案怪怪的
答案怪怪的對
令兩根為x1,x2
則要問|x1-x2|的n表示式
|x1-x2|^2 = (x1+x2)^2 - 4 x1 x2
= (2n+1)^2/(n^2+n)^2 - 4/(n^2+n)
= 1 / (n^2 + n)^2
|x1-x2| = 1/(n^2 + n) >0
題目所求 sigma(1~2003) = sigma(1/(n^2 + n)) = sigma(1/n - 1/(n+1))
= 1 - 1/2 + 1/2 - 1/3 +...-1/2004
= 2003/2004
: (4)若複數z滿足z+|z|=32-24i,則|z|^2=?
: Ans:625
再給兩種解法
A. for |z|=k 實數一個
z = (32-k) - 24i
|z|^2 = (32-k)^2 + 24^2 = k^2
可得 k = 25 = |z|
平方即為所求
B. 如果幾何ok的話 不妨畫圖
O(0,0) D(|z|,0)
QQQQQQQQQQQQQ
Q Q
Q Q
Q Q |z|
中點(16,-12) Q Q
Q Q
Q
P(32,-24)
座標軸省略了 (|z|+0i) + z = 32-24i 就這樣畫而已
是個等腰三角形
所以要算D 中垂線打在實軸上就是答案
中垂線的法向量為 (32,-24) ->(4,-3)
通過(16,-12)
很快寫出中垂線為 4x-3y=100
打在y=0上 --> x=25=|z|
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1F：推 ristvakbean :感恩 01/21 15:37
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