作者kai25 (喵乌)
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标题Re: [中学] 几题甄选题
时间Fri Jan 21 15:07:50 2011
※ 引述《ristvakbean (有够优秀)》之铭言：
: (5)对每个正整数n，抛物线y=(n^2+n)x^2-(2n+1)x+1与x轴交於A,B两点，以线
: 段AB表示A,B两点之距离，求sigma(1~2003)线段AB
: Ans:2002/2003(觉得答案怪怪的
答案怪怪的对
令两根为x1,x2
则要问|x1-x2|的n表示式
|x1-x2|^2 = (x1+x2)^2 - 4 x1 x2
= (2n+1)^2/(n^2+n)^2 - 4/(n^2+n)
= 1 / (n^2 + n)^2
|x1-x2| = 1/(n^2 + n) >0
题目所求 sigma(1~2003) = sigma(1/(n^2 + n)) = sigma(1/n - 1/(n+1))
= 1 - 1/2 + 1/2 - 1/3 +...-1/2004
= 2003/2004
: (4)若复数z满足z+|z|=32-24i,则|z|^2=?
: Ans:625
再给两种解法
A. for |z|=k 实数一个
z = (32-k) - 24i
|z|^2 = (32-k)^2 + 24^2 = k^2
可得 k = 25 = |z|
平方即为所求
B. 如果几何ok的话 不妨画图
O(0,0) D(|z|,0)
QQQQQQQQQQQQQ
Q Q
Q Q
Q Q |z|
中点(16,-12) Q Q
Q Q
Q
P(32,-24)
座标轴省略了 (|z|+0i) + z = 32-24i 就这样画而已
是个等腰三角形
所以要算D 中垂线打在实轴上就是答案
中垂线的法向量为 (32,-24) ->(4,-3)
通过(16,-12)
很快写出中垂线为 4x-3y=100
打在y=0上 --> x=25=|z|
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1F：推 ristvakbean :感恩 01/21 15:37
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