作者VFresh (車干)
看板Math
標題Re: [線代] 若兩個矩陣相似(similar)則秩(rank)一樣?
時間Mon Jan 24 00:14:25 2011
※ 引述《ofd168 (大色狼來襲)》之銘言：
: 如提
: 若兩個矩陣similar則rank會一樣嗎???
: p.s
: 若A和B similar 則找的到S使 A=S^-1*B*S
: rank of A = dimentions of columnspace of A
: = rowspace of A
: 附上定義
: 謝謝各位大大了
ker(K) := {v | Kv = 0 }
考慮 v in ker(A) iff Av = 0
iff S^-1BSv = 0
iff BSv = 0
iff Sv in ker(B)
因此 ker(A) = S(ker(B)) := { Sv | v in ker(B)}
考慮左乘變換 LS : F^n -> F^n (F是某個field ,可為實/複數 或是其他)
LS| : ker(B) -> F^n ( | 為限制其定義域)
ker(B)
根據dimension theorem -
dim(ker(B)) = dim(LS|) + dim(LS(ker(B)))
ker(B)
= 0 + dim(S(ker(B))
< 0 是因為 S 可反 因此 1-1, 因此 ker = 0 >
= dim(ker(A))
但因 n = rankA + dim(ker(A)) = rankB + dim(ker(B))
(n為矩陣大小)
因此 rankA = rankB
僅供參考~ Orz
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◆ From: 111.251.173.148
1F：推 ofd168 :抱歉大大，小弟可能能力不夠，從左乘轉換就看不太懂 01/24 14:25
2F：→ ofd168 :左乘轉換是linear transformation 線性轉換？？ 01/24 14:26
3F：→ ofd168 :還有那個 因為Ｓ可反 所以1-1 這裡看不太懂 01/24 14:28
4F：→ VFresh :左乘變換意思只是左乘矩陣 是一個線性變換 01/25 00:23
5F：→ VFresh :可反是因為其反函數為 LS^-1 因此必定1-1 01/25 00:24
6F：推 ofd168 :大大，因為排版問題，問一下 01/25 21:51