作者VFresh (车干)
看板Math
标题Re: [线代] 若两个矩阵相似(similar)则秩(rank)一样?
时间Mon Jan 24 00:14:25 2011
※ 引述《ofd168 (大色狼来袭)》之铭言：
: 如提
: 若两个矩阵similar则rank会一样吗???
: p.s
: 若A和B similar 则找的到S使 A=S^-1*B*S
: rank of A = dimentions of columnspace of A
: = rowspace of A
: 附上定义
: 谢谢各位大大了
ker(K) := {v | Kv = 0 }
考虑 v in ker(A) iff Av = 0
iff S^-1BSv = 0
iff BSv = 0
iff Sv in ker(B)
因此 ker(A) = S(ker(B)) := { Sv | v in ker(B)}
考虑左乘变换 LS : F^n -> F^n (F是某个field ,可为实/复数 或是其他)
LS| : ker(B) -> F^n ( | 为限制其定义域)
ker(B)
根据dimension theorem -
dim(ker(B)) = dim(LS|) + dim(LS(ker(B)))
ker(B)
= 0 + dim(S(ker(B))
< 0 是因为 S 可反 因此 1-1, 因此 ker = 0 >
= dim(ker(A))
但因 n = rankA + dim(ker(A)) = rankB + dim(ker(B))
(n为矩阵大小)
因此 rankA = rankB
仅供参考~ Orz
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◆ From: 111.251.173.148
1F：推 ofd168 :抱歉大大，小弟可能能力不够，从左乘转换就看不太懂 01/24 14:25
2F：→ ofd168 :左乘转换是linear transformation 线性转换？？ 01/24 14:26
3F：→ ofd168 :还有那个 因为Ｓ可反 所以1-1 这里看不太懂 01/24 14:28
4F：→ VFresh :左乘变换意思只是左乘矩阵 是一个线性变换 01/25 00:23
5F：→ VFresh :可反是因为其反函数为 LS^-1 因此必定1-1 01/25 00:24
6F：推 ofd168 :大大，因为排版问题，问一下 01/25 21:51