作者jurian0101 (小維)
看板Math
標題[微積] 錯在哪一步
時間Wed Jan 26 10:14:49 2011
簡單的ODE, dx/dt=sinx 可以直接分離變數算出
t = -ln|cscx+cotx|+ C1
e^(t-C1) = 1/ (cscx + cotx) = tan (x/2)
x = 2 arctan( e^(t-C1)) ...#1
**
多事的解法，由Euler's identity,
sinx = [e^ix - e^(-ix)] / 2i
代入原式
dx/dt = [e^ix - e^(-ix)] / 2i
令 z=e^ix, dz/dt= ie^ix dx/dt 代換得
dz/dt = (z^2 - 1)/2
這時候再分離變數解得
t = ln|z-1| - ln|z+1| + C2
e^(t-C2) = e^t' = (z-1)/(z+1) , t'=t-C2
=> z = (1+e^t') / (1-e^t')
最後得到 x = -i ln [(1+e^t') / (1-e^t')] ...#2
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(╯口╰) #1 和 #2 兩個答案 差蠻多的
檢查幾次還是不知道問題出在哪，請教各位。
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※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc)
◆ From: 218.164.7.189
1F：→ Vulpix :兩個答案都是對的 要說有錯也只是過程有點小錯罷了 01/26 19:05
2F：→ Vulpix :但是那兩個看起來很不一樣的答案其實會一樣喔 01/26 19:05
※ 編輯: jurian0101 來自: 218.164.4.169 (01/27 13:39)
3F：推 ntust661 :什麼是 t' ="= ... 01/27 16:54
4F：→ jurian0101 :不是微分，是平移 01/28 20:12
※ 編輯: jurian0101 來自: 218.164.5.129 (01/28 20:13)