作者luke2 (路克：２)
看板Math
標題[微積] 極限的概念
時間Sun Feb 20 23:08:47 2011
給定一函數
f(x)=y=√(1-x^2)
在xy座標上它是一個半圓
請問f(x)在x=1處是否連續?
答案是肯定的(畢竟f(x)根本就是一個連續函數)
那麼
lim f(x)存在,且等於f(1) (這也是連續的必要條件)
x→1
我想問的是
f(x)在x=1處的左極限很明顯是0
那麼右極限呢?
對於x>1
f(x)沒有定義更沒有極限
所以它右極限是"不存在"嗎?
還是說,我們在討論極限"存在"時根本不會去討論它的右極限?
其實這個問題是來自於這個敘述
lim f(x)存在<=>lim f(x)=lim f(x)
x→a x→a+ x→a-
的對錯...
來源:
http://0rz.tw/8wu7P
我查到一些資料
它的敘述幾乎都是
lim f(x)存在<= lim f(x)=lim f(x)
x→a x→a+ x→a-
而不是雙箭號(充分必要條件)
可是考卷上卻說這是對的= =
被這個問題困擾了好久
於是來請教各位大大...謝謝!
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※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc)
◆ From: 111.243.17.75
※ 編輯: luke2 來自: 111.243.17.75 (02/20 23:10)
1F：→ Xixan :不知道你是查什麼資料，不過極限存不存在最簡單就是 02/20 23:10
2F：→ Xixan :用定義(epsilon-delta)來看。 02/20 23:11
3F：→ luke2 :其實只是高中數學課本而已= = 小弟目前高三... 02/20 23:12
4F：→ luke2 :才學殊淺 並不了解epsilon-delta的概念... 02/20 23:12
※ 編輯: luke2 來自: 111.243.17.75 (02/20 23:17)
5F：→ Xixan :那這樣說好了，你問他的右極限是多少就和問f(2)是多 02/20 23:16
6F：→ Xixan :少一樣，一點意義都沒有。但極限存在這件事是有很好 02/20 23:17
7F：→ Xixan :的定義的，不會有什麼爭議。既然沒學過，就算了吧。 02/20 23:18
8F：→ luke2 :所以說 這個敘述(充分必要)是錯的嗎? 02/20 23:19
9F：→ luke2 :因為我們根本不會去討論右極限(討論也沒意義) 02/20 23:19
10F：→ Xixan :沒什麼對也沒什麼錯，高中課本本來就沒辦法寫太仔細 02/20 23:22
11F：→ Xixan :真的想了解就去找微積分的書翻一翻… 02/20 23:22
12F：→ luke2 :瞭解了,謝謝! 02/20 23:26
13F：→ yhliu :在端點, 極限 or 連續性都只考慮單邊的. 02/21 10:52
14F：→ yhliu :在初微, 有些作者會強調只有單邊極限存在, 而 "極限" 02/21 10:53
15F：→ yhliu :被狹義地限制為僅指 "雙邊極限". 02/21 10:54
16F：→ yhliu :在高微, "極限" 的定義自動排除不在定義域範圍的點. 02/21 10:54
17F：→ yhliu :因此如本例在端點 x=1 or x=-1 的極限自動變成適當的 02/21 11:02
18F：→ yhliu :單邊極限. 02/21 11:02
19F：→ yhliu :但在初微, 如本例在 x=1 or x=-1 可能就被認為 02/21 11:04
20F：→ yhliu :"極限不存在", 因為只能考慮單邊極限之故. 02/21 11:04
21F：→ yhliu :所以像這種情形單純問是否連續, 極限是否存在, 可說 02/21 11:06
22F：→ yhliu :並無統一答案, 完全要看定義怎麼說. 02/21 11:06
23F：→ yhliu :但此例函數 f(x) 在 [-1,1] 確實屬連續函數, 因為在 02/21 11:07
24F：→ yhliu :閉區間連續函數定義是: 在內點都連續,在端點單邊連續 02/21 11:09