作者luke2 (路克：２)
看板Math
标题[微积] 极限的概念
时间Sun Feb 20 23:08:47 2011
给定一函数
f(x)=y=√(1-x^2)
在xy座标上它是一个半圆
请问f(x)在x=1处是否连续?
答案是肯定的(毕竟f(x)根本就是一个连续函数)
那麽
lim f(x)存在,且等於f(1) (这也是连续的必要条件)
x→1
我想问的是
f(x)在x=1处的左极限很明显是0
那麽右极限呢?
对於x>1
f(x)没有定义更没有极限
所以它右极限是"不存在"吗?
还是说,我们在讨论极限"存在"时根本不会去讨论它的右极限?
其实这个问题是来自於这个叙述
lim f(x)存在<=>lim f(x)=lim f(x)
x→a x→a+ x→a-
的对错...
来源:
http://0rz.tw/8wu7P
我查到一些资料
它的叙述几乎都是
lim f(x)存在<= lim f(x)=lim f(x)
x→a x→a+ x→a-
而不是双箭号(充分必要条件)
可是考卷上却说这是对的= =
被这个问题困扰了好久
於是来请教各位大大...谢谢!
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※ 发信站: 批踢踢实业坊(ptt.cc)
◆ From: 111.243.17.75
※ 编辑: luke2 来自: 111.243.17.75 (02/20 23:10)
1F：→ Xixan :不知道你是查什麽资料，不过极限存不存在最简单就是 02/20 23:10
2F：→ Xixan :用定义(epsilon-delta)来看。 02/20 23:11
3F：→ luke2 :其实只是高中数学课本而已= = 小弟目前高三... 02/20 23:12
4F：→ luke2 :才学殊浅 并不了解epsilon-delta的概念... 02/20 23:12
※ 编辑: luke2 来自: 111.243.17.75 (02/20 23:17)
5F：→ Xixan :那这样说好了，你问他的右极限是多少就和问f(2)是多 02/20 23:16
6F：→ Xixan :少一样，一点意义都没有。但极限存在这件事是有很好 02/20 23:17
7F：→ Xixan :的定义的，不会有什麽争议。既然没学过，就算了吧。 02/20 23:18
8F：→ luke2 :所以说 这个叙述(充分必要)是错的吗? 02/20 23:19
9F：→ luke2 :因为我们根本不会去讨论右极限(讨论也没意义) 02/20 23:19
10F：→ Xixan :没什麽对也没什麽错，高中课本本来就没办法写太仔细 02/20 23:22
11F：→ Xixan :真的想了解就去找微积分的书翻一翻… 02/20 23:22
12F：→ luke2 :了解了,谢谢! 02/20 23:26
13F：→ yhliu :在端点, 极限 or 连续性都只考虑单边的. 02/21 10:52
14F：→ yhliu :在初微, 有些作者会强调只有单边极限存在, 而 "极限" 02/21 10:53
15F：→ yhliu :被狭义地限制为仅指 "双边极限". 02/21 10:54
16F：→ yhliu :在高微, "极限" 的定义自动排除不在定义域范围的点. 02/21 10:54
17F：→ yhliu :因此如本例在端点 x=1 or x=-1 的极限自动变成适当的 02/21 11:02
18F：→ yhliu :单边极限. 02/21 11:02
19F：→ yhliu :但在初微, 如本例在 x=1 or x=-1 可能就被认为 02/21 11:04
20F：→ yhliu :"极限不存在", 因为只能考虑单边极限之故. 02/21 11:04
21F：→ yhliu :所以像这种情形单纯问是否连续, 极限是否存在, 可说 02/21 11:06
22F：→ yhliu :并无统一答案, 完全要看定义怎麽说. 02/21 11:06
23F：→ yhliu :但此例函数 f(x) 在 [-1,1] 确实属连续函数, 因为在 02/21 11:07
24F：→ yhliu :闭区间连续函数定义是: 在内点都连续,在端点单边连续 02/21 11:09