作者keroro321 (日夕)
看板Math
標題Re: [線代] 反矩陣的定義
時間Thu Oct 20 19:52:55 2011
※ 引述《dogy007 (dogy007)》之銘言：
: ※ 引述《rtyxn (ask)》之銘言：
: : 手邊的書(有3本)都用AB=BA=I來定義A的inverse
: : 起初不是很在意AB=I會不會保證BA=I
: : 但剛剛在導2階方陣A的inverse公式時，問題就來了
: : 我只用AB=I就把A的inverse公式導出來了
: : 這樣我還要證明BA=I才能讓公式合法
: : 還是現在就可以說這個公式沒問題、可以用了?
: : 不才的意思是能不能只用AB=I來定義A的inverse
: : ，不說BA=I，因為只要AB=I，BA就等於I? 請賜教，謝謝!
: 因為矩陣乘法沒有交換性，
: 更一般的環，是可能有 ab = 1 但 ba <> 1 的情形
: 也就是 a 有右反元素，但沒有左反元素
: 所以定義 inverse 時，我們必須要定義成 AB=BA=I
: 不過方陣有一些良好性質，所以事實上是可以證明 AB=I => BA=I
: 但一般書上為了省事，都不去做這個東西
: 或者有的會等到教了 determine 以及 adj(A) 時再提這個東西
: 不過其實這個是可以藉由 row operation 來證明的
有學過 Ring 大家都會知道其實原PO的問題並不是很清楚
雖然都知道他問的應該是 M (|R) , M (C) 等等
n×n n×n
在"類似上述"的2個空間 , 當寫下 AB = I
我們就可以知道 A 也有 left inverse C . ( CA = I )
也因此可得知 C = B .
當以 Ring 的觀點來看時 , 某些 Ring 這個 C 就不存在了.
其中有一個例子:
───────────────────────────
|N
Let Z = { (a ,a ....,a ... ) ║ all a are integers }
1 2 n i
(a ,a ....,a ... ) + (b ,b ....,b ... ) = (a + b , a + b ...., a + b ... )
1 2 n 1 2 n 1 1 2 2 n n
|N |N |N
Consider the set R = End( Z ) of endomorphisms f :Z ─> Z .
( R , + , 。) is a ring with identity .
( (f+g)(a) = f(a)+g(a) , (f。g)(a) = f(g(a)) )
───────────────────────────
|N |N
Consider this map h :Z ─> Z
h:(a ,a ....,a ... ) ├─>(a ,a ....,a ... )
1 2 n 2 3 n+1
then " h has infinitely many right inverses g " (h。g = 1)
and " h does not have any left inverse f " (f。h = 1)
原PO的問題已經有推文及回文回答了,正好找到這例子
所以貼一下找到的這個 Ring ,
可以跟定義對照一下.
有什麼地方錯了麻煩指正我一下
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