作者keroro321 (日夕)
看板Math
标题Re: [线代] 反矩阵的定义
时间Thu Oct 20 19:52:55 2011
※ 引述《dogy007 (dogy007)》之铭言：
: ※ 引述《rtyxn (ask)》之铭言：
: : 手边的书(有3本)都用AB=BA=I来定义A的inverse
: : 起初不是很在意AB=I会不会保证BA=I
: : 但刚刚在导2阶方阵A的inverse公式时，问题就来了
: : 我只用AB=I就把A的inverse公式导出来了
: : 这样我还要证明BA=I才能让公式合法
: : 还是现在就可以说这个公式没问题、可以用了?
: : 不才的意思是能不能只用AB=I来定义A的inverse
: : ，不说BA=I，因为只要AB=I，BA就等於I? 请赐教，谢谢!
: 因为矩阵乘法没有交换性，
: 更一般的环，是可能有 ab = 1 但 ba <> 1 的情形
: 也就是 a 有右反元素，但没有左反元素
: 所以定义 inverse 时，我们必须要定义成 AB=BA=I
: 不过方阵有一些良好性质，所以事实上是可以证明 AB=I => BA=I
: 但一般书上为了省事，都不去做这个东西
: 或者有的会等到教了 determine 以及 adj(A) 时再提这个东西
: 不过其实这个是可以藉由 row operation 来证明的
有学过 Ring 大家都会知道其实原PO的问题并不是很清楚
虽然都知道他问的应该是 M (|R) , M (C) 等等
n×n n×n
在"类似上述"的2个空间 , 当写下 AB = I
我们就可以知道 A 也有 left inverse C . ( CA = I )
也因此可得知 C = B .
当以 Ring 的观点来看时 , 某些 Ring 这个 C 就不存在了.
其中有一个例子:
───────────────────────────
|N
Let Z = { (a ,a ....,a ... ) ║ all a are integers }
1 2 n i
(a ,a ....,a ... ) + (b ,b ....,b ... ) = (a + b , a + b ...., a + b ... )
1 2 n 1 2 n 1 1 2 2 n n
|N |N |N
Consider the set R = End( Z ) of endomorphisms f :Z ─> Z .
( R , + , 。) is a ring with identity .
( (f+g)(a) = f(a)+g(a) , (f。g)(a) = f(g(a)) )
───────────────────────────
|N |N
Consider this map h :Z ─> Z
h:(a ,a ....,a ... ) ├─>(a ,a ....,a ... )
1 2 n 2 3 n+1
then " h has infinitely many right inverses g " (h。g = 1)
and " h does not have any left inverse f " (f。h = 1)
原PO的问题已经有推文及回文回答了,正好找到这例子
所以贴一下找到的这个 Ring ,
可以跟定义对照一下.
有什麽地方错了麻烦指正我一下
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