作者JMLiang (遠遠不夠阿...)
看板Math
標題Re: [分析] 不可數個正數之和必非有限數?
時間Mon Nov 14 00:52:45 2011
※ 引述《ericpony (活死人)》之銘言：
: 如題, 請版上高手提供證明思路或反例, 謝謝!
: (原題目是 Show that if u(.) is a finite measure, then there
: cannot be uncountably many disjoint sets A such that u(A)>0.)
我的想法是這樣的
若全空間是Z u(Z)=M , M屬於N
假設Z存在一種不可數分割 {Ai,i屬於I} 使得u(Ai)_>0 for all i
則 (1)一定可以找到最大的Ai (若沒有最大就表示u(Z)無限大 矛盾)
(2)最大的Ai一定是有限個 (若無限個 相加就發生矛盾)
所以令 B1 ~ Bk1 為最大的那幾個
同理 Bk1+1~ Bk2 為第二大的那幾個
Bk2+1~ Bk3 為第三大的那幾個
..... .......
Bkj+1 ~ Bkj+2 為第j+2大的那幾個
..... ........
因此 {Bj} 為一個可數個的集合 且 {Bj} = {Ai}
但 {Ai}是不可數的集合 所以矛盾
小弟的淺見 有錯請指正
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◆ From: 220.139.141.116
1F：推 ericpony :若最大的Ai, 其數目是不可數的, 那麼{Bj}仍不可數喔~ 11/14 01:10
2F：→ ericpony :不過依照你的思路, 稍加修改答案就出來了喔^^ 11/14 01:12
3F：→ ericpony :因為必存在一個有限的n, 使得第n大的集合數目不可數 11/14 01:15
4F：→ ericpony :但這些集合的測度又都相同, 相加起來為無限大, 矛盾~ 11/14 01:17
5F：推 ericpony :咦@@ 發現我漏看了第二點,所以其實你已經證出來了orz 11/14 01:21
6F：→ JMLiang :^_^ 11/14 01:24
7F：→ NCWW :最大的Ai是指使u(Ai)最大化的Ai嗎? 11/14 21:40
8F：→ NCWW :u(Ai)有上界 ==> u(Ai)有上確界 =\=> u(Ai)有最大值 11/14 21:41
9F：→ JMLiang :我不知道你的使u(Ai)最大化是什麼意思~ 11/14 22:45
10F：→ JMLiang :我的意思是無論哪種分割,總會有最大的那個! 11/14 22:46
11F：→ chy1010 :可以有最大的分割, 可是不一定有最大的 Ai 11/14 22:57
12F：→ chy1010 :假設若有分割 En = {Ai} 其 measure 為 (1-1/n) 11/14 22:58