作者JMLiang (远远不够阿...)
看板Math
标题Re: [分析] 不可数个正数之和必非有限数?
时间Mon Nov 14 00:52:45 2011
※ 引述《ericpony (活死人)》之铭言：
: 如题, 请版上高手提供证明思路或反例, 谢谢!
: (原题目是 Show that if u(.) is a finite measure, then there
: cannot be uncountably many disjoint sets A such that u(A)>0.)
我的想法是这样的
若全空间是Z u(Z)=M , M属於N
假设Z存在一种不可数分割 {Ai,i属於I} 使得u(Ai)_>0 for all i
则 (1)一定可以找到最大的Ai (若没有最大就表示u(Z)无限大 矛盾)
(2)最大的Ai一定是有限个 (若无限个 相加就发生矛盾)
所以令 B1 ~ Bk1 为最大的那几个
同理 Bk1+1~ Bk2 为第二大的那几个
Bk2+1~ Bk3 为第三大的那几个
..... .......
Bkj+1 ~ Bkj+2 为第j+2大的那几个
..... ........
因此 {Bj} 为一个可数个的集合 且 {Bj} = {Ai}
但 {Ai}是不可数的集合 所以矛盾
小弟的浅见 有错请指正
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◆ From: 220.139.141.116
1F：推 ericpony :若最大的Ai, 其数目是不可数的, 那麽{Bj}仍不可数喔~ 11/14 01:10
2F：→ ericpony :不过依照你的思路, 稍加修改答案就出来了喔^^ 11/14 01:12
3F：→ ericpony :因为必存在一个有限的n, 使得第n大的集合数目不可数 11/14 01:15
4F：→ ericpony :但这些集合的测度又都相同, 相加起来为无限大, 矛盾~ 11/14 01:17
5F：推 ericpony :咦@@ 发现我漏看了第二点,所以其实你已经证出来了orz 11/14 01:21
6F：→ JMLiang :^_^ 11/14 01:24
7F：→ NCWW :最大的Ai是指使u(Ai)最大化的Ai吗? 11/14 21:40
8F：→ NCWW :u(Ai)有上界 ==> u(Ai)有上确界 =\=> u(Ai)有最大值 11/14 21:41
9F：→ JMLiang :我不知道你的使u(Ai)最大化是什麽意思~ 11/14 22:45
10F：→ JMLiang :我的意思是无论哪种分割,总会有最大的那个! 11/14 22:46
11F：→ chy1010 :可以有最大的分割, 可是不一定有最大的 Ai 11/14 22:57
12F：→ chy1010 :假设若有分割 En = {Ai} 其 measure 为 (1-1/n) 11/14 22:58