課程名稱︰微分方程 課程性質︰系訂必修 課程教師︰管傑雄 開課學院：電資學院 開課系所︰電機系 考試日期（年月日）︰2009/01/14 考試時限（分鐘）：180 是否需發放獎勵金：是 （如未明確表示，則不予發放） 試題 : 1. 求出下列圖形曲線的 Laplace transform 。(15%) f(t) │ 6├ ── │ 5├ ── │ 4├ ── │ 3├ ── │ 2├ ── │ 1├── │ ┼──┴─┴─┴─┴─┴─┴─ t 1 2 3 4 5 6 PS.圖形一直到無限大 2. 考慮求解下列方程式 xy"+2xy'-4y=0 (a)請先求出y(0)的值。(5%) (b)接著利用 Laplace transform 求出 Y(s)及相對應的 y(x)。(10%) (c)利用上一小題的解求出第二個獨立解，並據出說明 Laplace transform 為什麼只能找到一個獨立解。(10%) 3. 求解下列微分方程式組的通解 (D-2)x + (D-3)y - 11z = 0 (D-2)x - y + (D-8)z = 0 (D-2)x + (D-3)y + (D-13)z = 0 請先將方程組改為一階的 normal form 後求解。(15%) 4. 有關 Fourier series 的問題 : (a)求出下列函數的 Fourier series。(10%) f(x)= π^2 , -π < x < 0 π^2 - x^2 , 0 ≦ x ﹤π (b)利用上一小題的結果求出下列兩級數之值。(5%) ∞ (-1)^(n+1) ∞ 1 Σ ────── and Σ ─── n=1 n^2 n=1 n^2 5.考慮求解 Laplace equation, uxx + uyy = 0 0 < x < a, y > 0 PS. ux(u對x偏微) subject to u(0,y) = 0, u(a,y) =exp(-βy), and u(x,0) = V where a, β and V are constants. (a)請選擇適當 Fourier integral 求解該偏微分方程式。(15%) (b)如果邊界條件只有 u(0,y) = 0, u(a,y) = exp(-βy) 及 u(z,∞) = 0 請找出一個 particular solution up(x,y) = X(x)exp(-βy) 是符合上述邊界條件，亦即找出 X(x)。(5%) (c)接上一小題，符合該邊界條件的通解應為 u(x,y) = uc(x,y) + up(x,y) 其中的 uc(x,y) 應符合的邊界條件為 u(0,y) = 0, u(a,y) = 0 及 u(z,∞) = 0 即為邊界條件的 complementary function。 請求出此function 。(5%) (d)將上一小題的 u(x,y) = uc(x,y) + up(x,y) 符合最後一個邊界條件 u(x,0) = V 請由此找出 complementary function 中的未之係數值，並得到最後的解。 --

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