课程名称︰微分方程 课程性质︰系订必修 课程教师︰管杰雄 开课学院：电资学院 开课系所︰电机系 考试日期（年月日）︰2009/01/14 考试时限（分钟）：180 是否需发放奖励金：是 （如未明确表示，则不予发放） 试题 : 1. 求出下列图形曲线的 Laplace transform 。(15%) f(t) │ 6├ ── │ 5├ ── │ 4├ ── │ 3├ ── │ 2├ ── │ 1├── │ ┼──┴─┴─┴─┴─┴─┴─ t 1 2 3 4 5 6 PS.图形一直到无限大 2. 考虑求解下列方程式 xy"+2xy'-4y=0 (a)请先求出y(0)的值。(5%) (b)接着利用 Laplace transform 求出 Y(s)及相对应的 y(x)。(10%) (c)利用上一小题的解求出第二个独立解，并据出说明 Laplace transform 为什麽只能找到一个独立解。(10%) 3. 求解下列微分方程式组的通解 (D-2)x + (D-3)y - 11z = 0 (D-2)x - y + (D-8)z = 0 (D-2)x + (D-3)y + (D-13)z = 0 请先将方程组改为一阶的 normal form 後求解。(15%) 4. 有关 Fourier series 的问题 : (a)求出下列函数的 Fourier series。(10%) f(x)= π^2 , -π < x < 0 π^2 - x^2 , 0 ≦ x ﹤π (b)利用上一小题的结果求出下列两级数之值。(5%) ∞ (-1)^(n+1) ∞ 1 Σ ────── and Σ ─── n=1 n^2 n=1 n^2 5.考虑求解 Laplace equation, uxx + uyy = 0 0 < x < a, y > 0 PS. ux(u对x偏微) subject to u(0,y) = 0, u(a,y) =exp(-βy), and u(x,0) = V where a, β and V are constants. (a)请选择适当 Fourier integral 求解该偏微分方程式。(15%) (b)如果边界条件只有 u(0,y) = 0, u(a,y) = exp(-βy) 及 u(z,∞) = 0 请找出一个 particular solution up(x,y) = X(x)exp(-βy) 是符合上述边界条件，亦即找出 X(x)。(5%) (c)接上一小题，符合该边界条件的通解应为 u(x,y) = uc(x,y) + up(x,y) 其中的 uc(x,y) 应符合的边界条件为 u(0,y) = 0, u(a,y) = 0 及 u(z,∞) = 0 即为边界条件的 complementary function。 请求出此function 。(5%) (d)将上一小题的 u(x,y) = uc(x,y) + up(x,y) 符合最後一个边界条件 u(x,0) = V 请由此找出 complementary function 中的未之系数值，并得到最後的解。 --

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