課程名稱︰高等微積分 課程性質︰必修 課程教師︰陳金次 開課學院：理學院 開課系所︰數學系 考試日期（年月日）︰98/04/11 考試時限（分鐘）：180分鐘 是否需發放獎勵金：是 （如未明確表示，則不予發放） 試題 : 1. (a) f,g在[a,b]上Riemann可積分，則f,g在[a,b]上亦Riemann可積分。 (b) 若將Riemann積分改為瑕積分，(a)之結論仍成立否？ 2. π f在[0,π]上Riemann可積分，求 lim ∫f(x)|sin(nx)|dx 之值。 n→∞ 0 3. D=[0,1]×[0,1]，求 Min ∫∫|x^2+y^2-ax-by-c|dxdy之值。 a,b,c D 4. ∞ 1 f(x)= Σ ───── n=1 1+(n^2)x (a) 決定x，使f絕對收斂。 (b) 決定區間，使f在其上均勻收斂。 (c) f在其收斂區間上是否連續？有界否？ 5. {(x^α)sin(1/x)，x≠0 f(x)={ ，試定α的範圍，使f在[0,1]上有界變分。 { 0 ，x=0 6. 判定下列函數在給定的區間上是否均勻收斂 (a) ∞ sin(nx) Σ ────，在[0,π]上 n=1 n^2 (b) ∞ sin(nx) Σ ────，在[0,π]上 n=1 n (c) ∞ sin(nx) Σ ────，在[δ,π]上，δ>0 n=1 n 7.(Χ,d)為一metric space，K為Χ上compact set。 (a) 令ρ(x)=dist(x,K)= inf d(x,y)，試証ρ為Χ上的連續函數。 y屬於K (b) 試造出一函數f，在Χ上連續，且K={x|f(x)=sup f}。 Χ 8. f在[0,∞)上連續，若對任意x，集合A(x)={f(nx)|n=0,1,2,...}恆有界， 試証：f在[0,∞)上有界。 9. A(1,0,0)，B(0,1,0)，C(0,0,1)，O為原點。試設計一網路連接O、A、B、C四點， 使網路總長最小，並證明之。 任選八題作答，每題20分 1~4題寫在A卷上，5~9題寫在B卷上 --

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