课程名称︰高等微积分 课程性质︰必修 课程教师︰陈金次 开课学院：理学院 开课系所︰数学系 考试日期（年月日）︰98/04/11 考试时限（分钟）：180分钟 是否需发放奖励金：是 （如未明确表示，则不予发放） 试题 : 1. (a) f,g在[a,b]上Riemann可积分，则f,g在[a,b]上亦Riemann可积分。 (b) 若将Riemann积分改为瑕积分，(a)之结论仍成立否？ 2. π f在[0,π]上Riemann可积分，求 lim ∫f(x)|sin(nx)|dx 之值。 n→∞ 0 3. D=[0,1]×[0,1]，求 Min ∫∫|x^2+y^2-ax-by-c|dxdy之值。 a,b,c D 4. ∞ 1 f(x)= Σ ───── n=1 1+(n^2)x (a) 决定x，使f绝对收敛。 (b) 决定区间，使f在其上均匀收敛。 (c) f在其收敛区间上是否连续？有界否？ 5. {(x^α)sin(1/x)，x≠0 f(x)={ ，试定α的范围，使f在[0,1]上有界变分。 { 0 ，x=0 6. 判定下列函数在给定的区间上是否均匀收敛 (a) ∞ sin(nx) Σ ────，在[0,π]上 n=1 n^2 (b) ∞ sin(nx) Σ ────，在[0,π]上 n=1 n (c) ∞ sin(nx) Σ ────，在[δ,π]上，δ>0 n=1 n 7.(Χ,d)为一metric space，K为Χ上compact set。 (a) 令ρ(x)=dist(x,K)= inf d(x,y)，试证ρ为Χ上的连续函数。 y属於K (b) 试造出一函数f，在Χ上连续，且K={x|f(x)=sup f}。 Χ 8. f在[0,∞)上连续，若对任意x，集合A(x)={f(nx)|n=0,1,2,...}恒有界， 试证：f在[0,∞)上有界。 9. A(1,0,0)，B(0,1,0)，C(0,0,1)，O为原点。试设计一网路连接O、A、B、C四点， 使网路总长最小，并证明之。 任选八题作答，每题20分 1~4题写在A卷上，5~9题写在B卷上 --

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