課程名稱︰微積分乙 課程性質︰ 課程教師︰詹進吉 開課學院：管理 開課系所︰ 考試日期（年月日）︰98/04/16 考試時限（分鐘）：110 mins 是否需發放獎勵金：是 （如未明確表示，則不予發放） 試題 : 國立臺灣大學97年度下學期微積分(乙)第11班期中考試題 時間:2009年4月16日 上午10:20-12:10 地點:綜合教室301室 作答注意事項: (1)橫式書寫,請勿潦草,各大題請從答案卷左邊開始寫起,以免分數漏評。 (2)翻頁續寫時，請遵照答案卷上之規定，違者扣５分。 (3)不必抄題，惟請標明題序。 (4)除問答題外，其餘各題均有算式，不可只寫最後答案，否則不給分。 (4)請勿寫簡體字，惟本地已通行者，可。 (5)總共１２０分，不伸縮比例，請自行擇題作答。 一、求下列各(小)題之不定積分（各小題皆5％） （1）∫xarctanx/√(1+x^2 ) dx = ? （2）∫x(tanx)^2 dx = ? （3）∫(lnx)^2 dx = ? （4）∫(e^x-1)/(e^x+1) dx = ? （5）∫x/(x-√(x^2-1)) dx = ? 二、（Ａ）何謂"微積分（學）基本定理"？請敘述之。(4%) 　　（Ｂ）它為何被稱為"基本"定理？談談你的看法（價值觀）？(4%) 　　（Ｃ）下列那些積分適合"直接"運用Newton-Leibniz公式來計算？ 　　　　　請說明理由（各小題皆為2%，共8%） 　　　　　　　　+1　 　　（ｃ－１）∫　1/x^2 dx? -1 　　　　　　　　1 （ｃ－２）∫ e^(x^2) dx? 0 +1 　　（ｃ－３）∫　1/(x^2+1) dx? -1 +1 　　（ｃ－４）∫ darctan(1/x) ? -1 三、求下列定積分之值：（各5%） e [1] ∫ dx/(x√(1+lnx))＝？ 1 π/2 [2] ∫ 1/(1+tanx)dx＝？ 0 四、 1　　　　　　　　　　　　　　　　1　　 <1>示明廣義積分∫ dx/(√x(1-x)) 收斂，[提示：此為∫x^(1/2-1)(1-x)^(1/2-1)dx ] 0 0 <2>計算出此廣義積分之值。[提示:令 x＝sinθ] （<1>、<2> 各4%） 五、關於求體積的方法，我國南北朝時期數學家祖(日恆)(音ㄍㄥˋ,祖沖之(429-500A.D) 的兒子，約為５世紀末至６世紀初的人）提出他的主張："夫疊某成體積，緣冪勢既 　　同，則積不容異"（見之於＜＜九章算術＞＞一書）。此一主張，一千多年之後，在 　　西方，至１６２９年才由義大利的數學家Cavalieri所（再）發現，今天西方數學界 　　均稱之為Cavalieri原理。試回答下列問題： 　　(i) 祖（日恆）的說辭中，冪、勢各何所指？(2%) (ii)祖（日恆）-Cavaliveri原理，如何使用積分來表達？(4%) 六、求半徑為ａ＞０之球體的體積與表面積。(各5%，共10%) 七、求由曲面 x^2+z^2=a^2 與 y^2+z^2=a^2（ａ＞０常數）所圍成的立體體積。 　　[註]：這正是由兩個牟合方蓋上下互相對稱，口對口，相互黏在一起。(5%) 八、證明廣義微積分 ∞ 　　　　　　　　　　Γ（α）＝∫ x^(α-1) e^(-1) dx , α∈(0,+∞) 　　　　　　　　　　　　　　　 0 　　存在（即不為±∞）(5%)此積分值和α有關，是α的函數。這函數是透過積 　　分來定義的，我們稱之為Euler的甘馬(Gamma)函數。它在統計學、工程數學、 　　Laplace轉換中都很重要。 九、（承上題）證明：ａ）Γ(1)＝Γ(2)＝１．(4%) （ｂ）設 n∈N，試證 Γ(n+1)=n．Γ(n).(4%)因而Γ(n+1)=n!，顯見Γ(α)是階乘n!的擴大。事實 　　上，Γ(α)還是α的可微分函數，而且更是向下凸的函數（α＞０），這些不 　　要求各位證明。 十、(A)證明廣義積分　 2 　　　　　　　　　　　∞ -x 　　　　　　　　　　∫ e dx 2 0　　　　　　　　　　　　　　　　　 +∞ -x 　存在（或謂收斂）(4%)，且其值為（√π）/2。(8%)，而因∫ e dx= -∞ 2 2 2 0 -x +∞ -x +∞ -x ∫ e dx + ∫ e dx = 2∫ e dx =√π -∞ 0 0 (B)利用上述結果證明(3%) 2 2 +∞ -(x-μ) /2σ ∫ [1/(√(2π)σ)] e , x∈R , σ>0 -∞ 　　　它是統計學中最重要的（連續型）機率分配，各位同學二年級以後就會常 　　　常遇到它。 　 (C)利用(A)之結果示明　Γ(1/2)= √π　[提示：施行變數變換。] (3%) 十一、設θ＞０為一常數，又f(x)定義如下： 　　　　　　　　1　-x/θ 　　　　　f(x)= 一 e x∈（0,+∞) θ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　+∞ (1)顯然f(x)＞０，∀x∈(0,+∞)，試證：∫ f(x)dx=1. (2%) 0 △ +∞ (2)定義E(x)＝∫ xf(x) dx. 試證 E(x)=θ. (3%) 0 　 △ +∞　 △ 2 (3)定義E(x^2 )＝∫ x^2 f(x) dx ，且 V(x)＝ E(x^2)-[E(x)] 。 0 　　　試證：　 　　　　√V(x)=θ. (4%) [註]：這f(x)代表指數分配，在統計學、管理科學、精算學中很重要。 （試題結束） --

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