课程名称︰微积分乙 课程性质︰ 课程教师︰詹进吉 开课学院：管理 开课系所︰ 考试日期（年月日）︰98/04/16 考试时限（分钟）：110 mins 是否需发放奖励金：是 （如未明确表示，则不予发放） 试题 : 国立台湾大学97年度下学期微积分(乙)第11班期中考试题 时间:2009年4月16日 上午10:20-12:10 地点:综合教室301室 作答注意事项: (1)横式书写,请勿潦草,各大题请从答案卷左边开始写起,以免分数漏评。 (2)翻页续写时，请遵照答案卷上之规定，违者扣５分。 (3)不必抄题，惟请标明题序。 (4)除问答题外，其余各题均有算式，不可只写最後答案，否则不给分。 (4)请勿写简体字，惟本地已通行者，可。 (5)总共１２０分，不伸缩比例，请自行择题作答。 一、求下列各(小)题之不定积分（各小题皆5％） （1）∫xarctanx/√(1+x^2 ) dx = ? （2）∫x(tanx)^2 dx = ? （3）∫(lnx)^2 dx = ? （4）∫(e^x-1)/(e^x+1) dx = ? （5）∫x/(x-√(x^2-1)) dx = ? 二、（Ａ）何谓"微积分（学）基本定理"？请叙述之。(4%) 　　（Ｂ）它为何被称为"基本"定理？谈谈你的看法（价值观）？(4%) 　　（Ｃ）下列那些积分适合"直接"运用Newton-Leibniz公式来计算？ 　　　　　请说明理由（各小题皆为2%，共8%） 　　　　　　　　+1　 　　（ｃ－１）∫　1/x^2 dx? -1 　　　　　　　　1 （ｃ－２）∫ e^(x^2) dx? 0 +1 　　（ｃ－３）∫　1/(x^2+1) dx? -1 +1 　　（ｃ－４）∫ darctan(1/x) ? -1 三、求下列定积分之值：（各5%） e [1] ∫ dx/(x√(1+lnx))＝？ 1 π/2 [2] ∫ 1/(1+tanx)dx＝？ 0 四、 1　　　　　　　　　　　　　　　　1　　 <1>示明广义积分∫ dx/(√x(1-x)) 收敛，[提示：此为∫x^(1/2-1)(1-x)^(1/2-1)dx ] 0 0 <2>计算出此广义积分之值。[提示:令 x＝sinθ] （<1>、<2> 各4%） 五、关於求体积的方法，我国南北朝时期数学家祖(日恒)(音ㄍㄥˋ,祖冲之(429-500A.D) 的儿子，约为５世纪末至６世纪初的人）提出他的主张："夫叠某成体积，缘幂势既 　　同，则积不容异"（见之於＜＜九章算术＞＞一书）。此一主张，一千多年之後，在 　　西方，至１６２９年才由义大利的数学家Cavalieri所（再）发现，今天西方数学界 　　均称之为Cavalieri原理。试回答下列问题： 　　(i) 祖（日恒）的说辞中，幂、势各何所指？(2%) (ii)祖（日恒）-Cavaliveri原理，如何使用积分来表达？(4%) 六、求半径为ａ＞０之球体的体积与表面积。(各5%，共10%) 七、求由曲面 x^2+z^2=a^2 与 y^2+z^2=a^2（ａ＞０常数）所围成的立体体积。 　　[注]：这正是由两个牟合方盖上下互相对称，口对口，相互黏在一起。(5%) 八、证明广义微积分 ∞ 　　　　　　　　　　Γ（α）＝∫ x^(α-1) e^(-1) dx , α∈(0,+∞) 　　　　　　　　　　　　　　　 0 　　存在（即不为±∞）(5%)此积分值和α有关，是α的函数。这函数是透过积 　　分来定义的，我们称之为Euler的甘马(Gamma)函数。它在统计学、工程数学、 　　Laplace转换中都很重要。 九、（承上题）证明：ａ）Γ(1)＝Γ(2)＝１．(4%) （ｂ）设 n∈N，试证 Γ(n+1)=n．Γ(n).(4%)因而Γ(n+1)=n!，显见Γ(α)是阶乘n!的扩大。事实 　　上，Γ(α)还是α的可微分函数，而且更是向下凸的函数（α＞０），这些不 　　要求各位证明。 十、(A)证明广义积分　 2 　　　　　　　　　　　∞ -x 　　　　　　　　　　∫ e dx 2 0　　　　　　　　　　　　　　　　　 +∞ -x 　存在（或谓收敛）(4%)，且其值为（√π）/2。(8%)，而因∫ e dx= -∞ 2 2 2 0 -x +∞ -x +∞ -x ∫ e dx + ∫ e dx = 2∫ e dx =√π -∞ 0 0 (B)利用上述结果证明(3%) 2 2 +∞ -(x-μ) /2σ ∫ [1/(√(2π)σ)] e , x∈R , σ>0 -∞ 　　　它是统计学中最重要的（连续型）机率分配，各位同学二年级以後就会常 　　　常遇到它。 　 (C)利用(A)之结果示明　Γ(1/2)= √π　[提示：施行变数变换。] (3%) 十一、设θ＞０为一常数，又f(x)定义如下： 　　　　　　　　1　-x/θ 　　　　　f(x)= 一 e x∈（0,+∞) θ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　+∞ (1)显然f(x)＞０，∀x∈(0,+∞)，试证：∫ f(x)dx=1. (2%) 0 △ +∞ (2)定义E(x)＝∫ xf(x) dx. 试证 E(x)=θ. (3%) 0 　 △ +∞　 △ 2 (3)定义E(x^2 )＝∫ x^2 f(x) dx ，且 V(x)＝ E(x^2)-[E(x)] 。 0 　　　试证：　 　　　　√V(x)=θ. (4%) [注]：这f(x)代表指数分配，在统计学、管理科学、精算学中很重要。 （试题结束） --

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