作者boyzone66 (打籃球ㄟ)
看板Physics
標題[請益] 請求協助Hamiltonian
時間Sun Mar 24 20:44:27 2013
(原文已修改 改成這樣可能比較看得懂?!)
這是我的碩論瓶頸 囧rz
和彎曲空間中的場論有關
之前要把 de Sitter Space 的 spherical coordinate
Dirac equation 化成 schrodinger equation
Hamiltonian 如下:
┌ f(x) ┐ ┌ M*sech[x] -dx + k*csch[x] ┐┌ f(x) ┐
H │ │= │ ││ │
└ g(x) ┘ └ -dx + k*csch[x] - M*sech[x] ┘└ g(x) ┘
M是質量 x是變數 dx代表對x微分 k是某種量子數(當作常數就好)
其實這是4X4的矩陣 4個elements 都是identity 作用在 [ f f g g ] (轉置)
這是一般情況的Hamiltonian
→ → →
H = α‧(p ─ A ) + β*M
其中σ是Pauli Matrices 跟 I是identity 都是2X2的矩陣
=> 代表原本一般的H是4X4
後來老師幫我用了一個2X2矩陣的 Hamiltonian...
(下面有修改過 應該比較好懂)
重新設上面的α和β
┌ 0 1 ┐ ┌ 0 -i ┐ ┌ 1 0 ┐
α1 =│ │ α2 =│ │ β =│ │
└ 1 0 ┘ └ i 0 ┘ └ 0 -1 ┘
(應該看的出來 其實就是pauli matrix )
H = α1 * ( k csch[x] ) + α2 * (-i dx) + β * M sech[x]
→ → →
= α‧( p ─ A ) + β * M sech[x]
→ →
p = ( 0 , p2, 0 ) A = ( -k csch[x] , 0 , 0 )
我剛想的是
老師的意思是要我求下面這個嗎??
→ → →
▽ ×A = B 如果可以的話 我已經做好了....
但讓我不確定的就是~~
→
α 可以替換成 pauli matrix ???
自認基礎不好 我所知有限 也被老師罵了很多次
請求協助 >"<~
--
※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc)
◆ From: 180.176.44.106
※ 編輯: boyzone66 來自: 180.176.44.106 (03/24 23:56)
※ 編輯: boyzone66 來自: 180.176.44.106 (03/25 01:27)
1F：推 wohtp:這樣子更奇怪了。你原來那樣子寫，因為alpha的元素是向量 03/25 02:24
2F：→ wohtp:所以你可以做內積。現在這樣子你怎麼內積？ 03/25 02:24
一開始PO的是meeting時候講的
改成這樣是我後來寄信問老師 老師給我的
我想說
是不是修改過後的版本比較像Hamiltonian....@@
3F：→ caseypie:你老師的版本似乎是在考慮某個特殊情況.... 03/25 03:10
4F：推 caseypie:BTW，你確定原本4x4的α和β長那樣？ 03/25 03:17
原本的α β 4X4是這樣
對不起
我剛發現之前打的有錯
我打反了....= = (排版好難 顧此失彼 剛又打錯了)
┌ 0 → ┐ ┌ 1 0 ┐
→ │ 0 σ │ │ 1 0 │
α =│ │ β =│ │
│ → 0 │ │ 0 -1 │
└ σ 0 ┘ └ 0 -1 ┘
→
σ 是2X2 Pauli matrices
http://en.wikipedia.org/wiki/Pauli_matrices
※ 編輯: boyzone66 來自: 180.176.44.106 (03/25 13:09)
5F：→ caseypie:其實你直接用gamma matrics就好了.... 03/25 22:23
6F：→ caseypie:等一下，這樣還是有點怪，這不是gamma matrics 03/25 22:26
7F：→ caseypie:你確定兩個σ同號？ 03/25 22:26
8F：→ caseypie:我想我知道你老師在幹嘛了，他只是把矩陣的二三列互換 03/25 22:37
9F：→ caseypie:但是你更正的α應該還是有問題，差一個負號，否則不對 03/25 22:38
10F：→ boyzone66:是阿 這不是gamma matrices~老師把gamma改成用pauli表示 03/26 00:29
11F：→ boyzone66:我印象中沒問題阿 因為H是identity~@@ 03/26 00:30
12F：→ boyzone66:我後來寄信問老師了 總之就直接找磁場了 老師是神人QQ 03/26 00:31
13F：→ boyzone66:我也檢驗過改成2X2的pauli matrices 居然是可以的= =~ 03/26 00:32
14F：→ caseypie:不，我是說你本來的就不是gamma，要換成2x2會差一個負號 03/26 01:15
15F：→ caseypie:你po的算式裡沒有把gamma改成用pauli表示這種事情 03/26 01:18
16F：推 wohtp:我也覺得你這個alpha少個負號。不然你自己試試，曲率取成零 03/26 03:17
17F：→ wohtp:會不會拿到普通的Dirac eq 03/26 03:17
18F：推 wohtp:對不起說傻話了。那 alpha 是 gamma^0 gamma^i 對吧 orz 03/26 03:38
19F：→ caseypie:α應該是gamma^i，β是gamma^0 03/26 03:45
20F：→ wohtp:H = i d/dt 這是 Shroedinger eq 03/26 04:10
21F：→ wohtp:但是 Dirac eq 給的是 gamma^0 (i d/dt) 03/26 04:11
22F：→ wohtp:所以要通乘一個 gamma^0 不是嗎？ 03/26 04:11
23F：→ wohtp:也是因為這樣子，質量項才會乘了一個gamma^0上去啊 03/26 04:12
24F：→ wohtp:但是現在這個alpha其實更怪...你只有兩個元素，要怎麼跟 03/26 04:21
25F：→ wohtp:三度空間向量 p 和 A 做內積啊？ 03/26 04:21
w大
看一下這個連結 wiki的
http://en.wikipedia.org/wiki/Dirac_equation#Comparison_with_the_Pauli_theory
其實我只是把下面那一排的正負變號...
然後再移項E
所以就會有 H = ....
後面兩句 真是完全說中了 哈哈哈= =
所以我才不懂老師在做什麼...
然後搞了1個月...
老師在白板上弄了5分鍾就弄出來了
現在就是...按照老師的意思 這樣可以類比Hamiltonian
然後M*sechx當作隨位置變化的質量
我要自己設定方向 找磁場@@
26F：→ caseypie:好吧，我本來以為M其實是某個能量然後是massless eq 03/26 04:52
27F：→ caseypie:因為要湊成一開始等式右邊那個東西，所以不需要z方向 03/26 04:59
28F：→ caseypie:我還是覺得很奇怪，dx前面差一個負號... 03/26 05:09
29F：→ caseypie:對f和對g的dx前面確定都有負號？ 03/26 05:10
30F：→ caseypie:我就是因為要幹掉那個負號才會認為M是能量方向 03/26 05:11
c大 謝謝
其實這個Hamiltonian就跟我上面解釋的一樣
31F：→ wohtp:比起那個負號，dx 前面是不是更應該有個i？ 03/26 16:53
32F：→ wohtp:啊，所以c大已經考慮到dx是anti-hermitian了... 03/26 16:58
i我因為我最一開始的H作用在[f ig]
所以我把i拿掉了~
※ 編輯: boyzone66 來自: 180.176.44.106 (03/26 17:25)
33F：→ caseypie:作用在[f ig]上就更不對了，你乘完之後多了一大堆i 03/26 20:40
34F：→ caseypie:另外負號問題還是沒解決，你老闆的推導和wiki不太一樣 03/26 20:42
其實越講越複雜~"~
因為我這個已經是計算後的結果
這是Spherical coordinate
先用到σ‧L作用到包含θψ的spinors 所以有k這個量子數
後來又用到σ‧r 作用 使得spinors可以互換
所以我才能消去和θψ有關的Spherical harmonics
看這個pdf的 第3~5頁 就可以知道我在說甚麼
http://www3.nd.edu/~johnson/Publications/markup.pdf
而且我把r換成了 r = tanh x
我懶得再打我最原始的形式
這是de Sitter space不是平空間阿 所以還是有些不一樣
我的老師把4X4 直接改成2X2表示 然後說 這就是Dirac Hamiltonian
(畢竟我找到的paper不管怎樣都用4X4表示@@~就算都是identity = =)
我覺得老師把我的結果套用在vector potential很神奇 ...@@
※ 編輯: boyzone66 來自: 180.176.44.106 (03/27 00:21)
※ 編輯: boyzone66 來自: 180.176.44.106 (03/27 00:24)
35F：→ jacob0425:我不知道彎曲空間的例子 但你的問題是不是只是要找 03/27 00:26
36F：→ jacob0425:二維的 Dirac Equation 然後放在彎曲空間上？ 03/27 00:27
37F：→ boyzone66:喔對對對對...有這個嗎?? 我想參考一下 03/27 00:39
38F：→ boyzone66:說是二維 我剛找了一下網路 似乎還是算3+1維 03/27 00:44
39F：→ boyzone66:但是要2X2 用pauli matrices表示的 不是gamma matirces 03/27 00:45
40F：→ boyzone66:我先找看看2+1維的~~ 03/27 00:51
41F：→ caseypie:這跟之前的計算沒有關係啊，我是單看你貼出來的部分 03/27 01:02
42F：→ caseypie:你貼出來的部分很單純，就只是等號左右乘開各項比較而已 03/27 01:04
43F：→ caseypie:按你貼出來的方法比較之後會有一些負號和i多出來 03/27 01:05
44F：推 louis925:2+1 D 的 Dirac Equation 找到的paper 03/30 16:15
46F：→ louis925:gamma matrices在不同維度長的不一樣，在1和2維是2x2的 03/30 16:18
47F：→ louis925:詳見supersymmetry。 (不知道這是不是你想要的) 03/30 16:19
48F：→ boyzone66:謝謝 我之前有看過~ 還滿像的~ 03/31 22:02
49F：→ boyzone66:因為老師幫我把形式簡化成另外一種 所以目前就照用@@ 03/31 22:03