作者boyzone66 (打篮球ㄟ)
看板Physics
标题[请益] 请求协助Hamiltonian
时间Sun Mar 24 20:44:27 2013
(原文已修改 改成这样可能比较看得懂?!)
这是我的硕论瓶颈 囧rz
和弯曲空间中的场论有关
之前要把 de Sitter Space 的 spherical coordinate
Dirac equation 化成 schrodinger equation
Hamiltonian 如下:
┌ f(x) ┐ ┌ M*sech[x] -dx + k*csch[x] ┐┌ f(x) ┐
H │ │= │ ││ │
└ g(x) ┘ └ -dx + k*csch[x] - M*sech[x] ┘└ g(x) ┘
M是质量 x是变数 dx代表对x微分 k是某种量子数(当作常数就好)
其实这是4X4的矩阵 4个elements 都是identity 作用在 [ f f g g ] (转置)
这是一般情况的Hamiltonian
→ → →
H = α‧(p ─ A ) + β*M
其中σ是Pauli Matrices 跟 I是identity 都是2X2的矩阵
=> 代表原本一般的H是4X4
後来老师帮我用了一个2X2矩阵的 Hamiltonian...
(下面有修改过 应该比较好懂)
重新设上面的α和β
┌ 0 1 ┐ ┌ 0 -i ┐ ┌ 1 0 ┐
α1 =│ │ α2 =│ │ β =│ │
└ 1 0 ┘ └ i 0 ┘ └ 0 -1 ┘
(应该看的出来 其实就是pauli matrix )
H = α1 * ( k csch[x] ) + α2 * (-i dx) + β * M sech[x]
→ → →
= α‧( p ─ A ) + β * M sech[x]
→ →
p = ( 0 , p2, 0 ) A = ( -k csch[x] , 0 , 0 )
我刚想的是
老师的意思是要我求下面这个吗??
→ → →
▽ ×A = B 如果可以的话 我已经做好了....
但让我不确定的就是~~
→
α 可以替换成 pauli matrix ???
自认基础不好 我所知有限 也被老师骂了很多次
请求协助 >"<~
--
※ 发信站: 批踢踢实业坊(ptt.cc)
◆ From: 180.176.44.106
※ 编辑: boyzone66 来自: 180.176.44.106 (03/24 23:56)
※ 编辑: boyzone66 来自: 180.176.44.106 (03/25 01:27)
1F：推 wohtp:这样子更奇怪了。你原来那样子写，因为alpha的元素是向量 03/25 02:24
2F：→ wohtp:所以你可以做内积。现在这样子你怎麽内积？ 03/25 02:24
一开始PO的是meeting时候讲的
改成这样是我後来寄信问老师 老师给我的
我想说
是不是修改过後的版本比较像Hamiltonian....@@
3F：→ caseypie:你老师的版本似乎是在考虑某个特殊情况.... 03/25 03:10
4F：推 caseypie:BTW，你确定原本4x4的α和β长那样？ 03/25 03:17
原本的α β 4X4是这样
对不起
我刚发现之前打的有错
我打反了....= = (排版好难 顾此失彼 刚又打错了)
┌ 0 → ┐ ┌ 1 0 ┐
→ │ 0 σ │ │ 1 0 │
α =│ │ β =│ │
│ → 0 │ │ 0 -1 │
└ σ 0 ┘ └ 0 -1 ┘
→
σ 是2X2 Pauli matrices
http://en.wikipedia.org/wiki/Pauli_matrices
※ 编辑: boyzone66 来自: 180.176.44.106 (03/25 13:09)
5F：→ caseypie:其实你直接用gamma matrics就好了.... 03/25 22:23
6F：→ caseypie:等一下，这样还是有点怪，这不是gamma matrics 03/25 22:26
7F：→ caseypie:你确定两个σ同号？ 03/25 22:26
8F：→ caseypie:我想我知道你老师在干嘛了，他只是把矩阵的二三列互换 03/25 22:37
9F：→ caseypie:但是你更正的α应该还是有问题，差一个负号，否则不对 03/25 22:38
10F：→ boyzone66:是阿 这不是gamma matrices~老师把gamma改成用pauli表示 03/26 00:29
11F：→ boyzone66:我印象中没问题阿 因为H是identity~@@ 03/26 00:30
12F：→ boyzone66:我後来寄信问老师了 总之就直接找磁场了 老师是神人QQ 03/26 00:31
13F：→ boyzone66:我也检验过改成2X2的pauli matrices 居然是可以的= =~ 03/26 00:32
14F：→ caseypie:不，我是说你本来的就不是gamma，要换成2x2会差一个负号 03/26 01:15
15F：→ caseypie:你po的算式里没有把gamma改成用pauli表示这种事情 03/26 01:18
16F：推 wohtp:我也觉得你这个alpha少个负号。不然你自己试试，曲率取成零 03/26 03:17
17F：→ wohtp:会不会拿到普通的Dirac eq 03/26 03:17
18F：推 wohtp:对不起说傻话了。那 alpha 是 gamma^0 gamma^i 对吧 orz 03/26 03:38
19F：→ caseypie:α应该是gamma^i，β是gamma^0 03/26 03:45
20F：→ wohtp:H = i d/dt 这是 Shroedinger eq 03/26 04:10
21F：→ wohtp:但是 Dirac eq 给的是 gamma^0 (i d/dt) 03/26 04:11
22F：→ wohtp:所以要通乘一个 gamma^0 不是吗？ 03/26 04:11
23F：→ wohtp:也是因为这样子，质量项才会乘了一个gamma^0上去啊 03/26 04:12
24F：→ wohtp:但是现在这个alpha其实更怪...你只有两个元素，要怎麽跟 03/26 04:21
25F：→ wohtp:三度空间向量 p 和 A 做内积啊？ 03/26 04:21
w大
看一下这个连结 wiki的
http://en.wikipedia.org/wiki/Dirac_equation#Comparison_with_the_Pauli_theory
其实我只是把下面那一排的正负变号...
然後再移项E
所以就会有 H = ....
後面两句 真是完全说中了 哈哈哈= =
所以我才不懂老师在做什麽...
然後搞了1个月...
老师在白板上弄了5分锺就弄出来了
现在就是...按照老师的意思 这样可以类比Hamiltonian
然後M*sechx当作随位置变化的质量
我要自己设定方向 找磁场@@
26F：→ caseypie:好吧，我本来以为M其实是某个能量然後是massless eq 03/26 04:52
27F：→ caseypie:因为要凑成一开始等式右边那个东西，所以不需要z方向 03/26 04:59
28F：→ caseypie:我还是觉得很奇怪，dx前面差一个负号... 03/26 05:09
29F：→ caseypie:对f和对g的dx前面确定都有负号？ 03/26 05:10
30F：→ caseypie:我就是因为要干掉那个负号才会认为M是能量方向 03/26 05:11
c大 谢谢
其实这个Hamiltonian就跟我上面解释的一样
31F：→ wohtp:比起那个负号，dx 前面是不是更应该有个i？ 03/26 16:53
32F：→ wohtp:啊，所以c大已经考虑到dx是anti-hermitian了... 03/26 16:58
i我因为我最一开始的H作用在[f ig]
所以我把i拿掉了~
※ 编辑: boyzone66 来自: 180.176.44.106 (03/26 17:25)
33F：→ caseypie:作用在[f ig]上就更不对了，你乘完之後多了一大堆i 03/26 20:40
34F：→ caseypie:另外负号问题还是没解决，你老板的推导和wiki不太一样 03/26 20:42
其实越讲越复杂~"~
因为我这个已经是计算後的结果
这是Spherical coordinate
先用到σ‧L作用到包含θψ的spinors 所以有k这个量子数
後来又用到σ‧r 作用 使得spinors可以互换
所以我才能消去和θψ有关的Spherical harmonics
看这个pdf的 第3~5页 就可以知道我在说甚麽
http://www3.nd.edu/~johnson/Publications/markup.pdf
而且我把r换成了 r = tanh x
我懒得再打我最原始的形式
这是de Sitter space不是平空间阿 所以还是有些不一样
我的老师把4X4 直接改成2X2表示 然後说 这就是Dirac Hamiltonian
(毕竟我找到的paper不管怎样都用4X4表示@@~就算都是identity = =)
我觉得老师把我的结果套用在vector potential很神奇 ...@@
※ 编辑: boyzone66 来自: 180.176.44.106 (03/27 00:21)
※ 编辑: boyzone66 来自: 180.176.44.106 (03/27 00:24)
35F：→ jacob0425:我不知道弯曲空间的例子 但你的问题是不是只是要找 03/27 00:26
36F：→ jacob0425:二维的 Dirac Equation 然後放在弯曲空间上？ 03/27 00:27
37F：→ boyzone66:喔对对对对...有这个吗?? 我想参考一下 03/27 00:39
38F：→ boyzone66:说是二维 我刚找了一下网路 似乎还是算3+1维 03/27 00:44
39F：→ boyzone66:但是要2X2 用pauli matrices表示的 不是gamma matirces 03/27 00:45
40F：→ boyzone66:我先找看看2+1维的~~ 03/27 00:51
41F：→ caseypie:这跟之前的计算没有关系啊，我是单看你贴出来的部分 03/27 01:02
42F：→ caseypie:你贴出来的部分很单纯，就只是等号左右乘开各项比较而已 03/27 01:04
43F：→ caseypie:按你贴出来的方法比较之後会有一些负号和i多出来 03/27 01:05
44F：推 louis925:2+1 D 的 Dirac Equation 找到的paper 03/30 16:15
46F：→ louis925:gamma matrices在不同维度长的不一样，在1和2维是2x2的 03/30 16:18
47F：→ louis925:详见supersymmetry。 (不知道这是不是你想要的) 03/30 16:19
48F：→ boyzone66:谢谢 我之前有看过~ 还满像的~ 03/31 22:02
49F：→ boyzone66:因为老师帮我把形式简化成另外一种 所以目前就照用@@ 03/31 22:03