※ 引述《topstr (z)》之銘言： : 標題: [問題] 自旋 in 場論 : 時間: Sat Dec 7 23:49:23 2024 : : : 3. : Weinberg QFT I p251 (5.9.31) : 提到電磁4-勢 Aμ 的Lorentz 變換跟規範變換之形式一樣 : 所以以前聽徐一鴻演講他好像說Lorentz變換是種規範變換 : : 很奇怪為什麼external symmetry 會是種internal symmetry？？？ : : : 規範變換是local ，而Lorentz 是global symmetry， : 這在普通QFT居然會扯在一起，太神奇，不解！！ : 我試著用更現代簡化版的argument來解釋這件事 不好意思 不會在ptt上打數學符號 希望還能看得懂 我follow的是當今最著名的中生代高能理論物理學家之一 Nima Arkani-Hamed的lecture https://www.youtube.com/watch?v=WECVq2YBduY 看不懂的話直接看他影片就好了XD 考慮一個4維時空下 spin 1的massless粒子 已知這種粒子只可能有2個自由度 (因為Lorentz群表示下 helicity只可能是1和-1) 但如果用向量場A_u(x)來描述它 無可避免會有4個自由度 所以需要2個約束 現在先把A_u寫成動量空間表示 A_u(x)=E_u(p)*e^(ipx) (不會在ptt打數學符號 所以這裡積分符號 或者之後的求和符號 就先省略) 可以施加像是Lorentz gauge一樣的約束 p^u*E_u(p)=0 但即使如此 還是多出了一個自由度 為了更清楚看到 這個自由度對應的是甚麼 不失一般性 可以取坐標軸p=(M,0,0,M) 把spin 1 massless粒子兩個helicity自由度對應的向量場寫成 E^(±)=(0,1/sqrt(2),±i/sqrt(2),0) 於是E_u=αE^+_u+βE^-_u 很容易驗證 在Lorentz變換下 E_u會變換成 E_u → (ΛE)_u+Ω*(Λp)_u 這滿足Lorentz gauge的約束條件 但這帶來一個矛盾...那就是 我們明明已經用光了兩個helicity的自由度和另外多加的約束 來表示這個粒子的向量場了 但在Lorentz變換下 卻發現依然沒法唯一指定它所對應的向量場 然而如果要求Lorentz不變 那麼這應該得對應同樣的粒子物理狀態 所以 唯一的解決方法 就是要求 E_u ~ E_u+Ω(p)p_u 是等價態 也就是 對應的是同樣的粒子物理狀態 換回去A_u(x)的話 那就是 A ~ A+▽Ω 這就是規範變換! 所以 如果要求一個spin 1的massless粒子的向量場 滿足Lorentz變換下不變 那麼規範變換的結構 或者 冗餘 就會自然出現 Weinberg的書 雖然notation和式子看起來複雜很多 但想強調的其實根本上也是一樣的 只是順序有點反過來 他是在說 massless的spin 1粒子場算符 不足以組成四維向量場的Lorentz群表示 而如果要是堅持用spin 1 massless粒子場來描述四維向量場的Lorentz表示 那麼無可避免就會出現規範變換的自由度 這套論證甚至可以進一步推廣在spin 2的無質量規範粒子上 帶來的結果 就是 若是要求滿足Lorentz變換下不變 那麼就會出現廣義相對論的等效原理 你會發現 像是Nima的論證 其實根本沒用到甚麼場論 甚至Weinberg本人60年代最早得出類似結論時 也是從S矩陣的結構和其他假設出發 並沒有特別使用場論的語言 其實 規範冗餘的來源 終究是在於: Lorentz group的群表示告訴了你 在滿足Lorentz變換下 四維向量場和spin 1無質量粒子 兩者的自由度是對不上的 所以 使用向量場來描述 總是會有冗餘的自由度 但在使用拉氏量來建構理論的QFT 這種表述幾乎是無可避免的 只是這個論證是用在無質量的規範粒子 對於怎麼理解規範對稱破缺後 帶質量的規範粒子...我也不了解 ............................................................................ 說點題外感想 Weinberg之所以會有Lorentz不變的要求 自然會帶來規範冗餘的視角 很大程度 應該跟他經歷過S矩陣理論盛行有關 (而且當初就是在S-matrix理論最盛行地方Berkeley待很多年) 不考慮底層結構是不是QFT 只從一些普遍性原理和假設出發的S矩陣方法 在60年代盛行一時 雖然後來因為QCD的成功 而少被教科書提及 不過近年這種S矩陣的方法近些年似乎又有很多新的突破 (Nima就是這方面的專家) 我之所以想要多說這些 是因為我覺得 現在很多QFT的教科書或者教學 往往將整個QFT的架構 描述的太"乾淨"了 尤其是越新的教科書 裡面介紹的QFT是越來越乾淨 卻反而更加單一 好像物理學家是很自然地就接受了QFT一樣 但不只因為 這不是真正的歷史發展 QFT是曾經被放棄過一陣子的理論 另一方面 我覺得這對培養真正物理思維的物理學家而言 也不是很好的教學方式 當然 我了解 隨著QFT方法學的應用範圍越來越廣 不只限於高能也需要學習和使用QFT 也隨著現在對年輕學生 盡快上手完成project的壓力越來越大 能快點訓練出 會算費曼圖的物理學家 或許更符合這個目標 但正是因為從QFT出發 算可觀測物理量的傳統方法 很多情況下過於複雜 從普遍性原理出發的S矩陣方法 反而在某些情況下能帶來新的計算視角 發現更加簡潔的關係或方法 才又會找到新生命 ............................................................................ 最後 關於你問到 為甚麼global的Lorentz變換 最後會得到local的規範變換要求 這是個好問題...我暫時也沒有很好的物理回答 不過 其實在quantum gravity中一直有著著名的猜想 那是沒有真正的global symmetry 這個至今依然是很前沿的研究領域 但也不知道跟你的這個問題會不會有直接相關 所以就不班門弄斧了 --

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