※ 引述《topstr (z)》之铭言： : 标题: [问题] 自旋 in 场论 : 时间: Sat Dec 7 23:49:23 2024 : : : 3. : Weinberg QFT I p251 (5.9.31) : 提到电磁4-势 Aμ 的Lorentz 变换跟规范变换之形式一样 : 所以以前听徐一鸿演讲他好像说Lorentz变换是种规范变换 : : 很奇怪为什麽external symmetry 会是种internal symmetry？？？ : : : 规范变换是local ，而Lorentz 是global symmetry， : 这在普通QFT居然会扯在一起，太神奇，不解！！ : 我试着用更现代简化版的argument来解释这件事 不好意思 不会在ptt上打数学符号 希望还能看得懂 我follow的是当今最着名的中生代高能理论物理学家之一 Nima Arkani-Hamed的lecture https://www.youtube.com/watch?v=WECVq2YBduY 看不懂的话直接看他影片就好了XD 考虑一个4维时空下 spin 1的massless粒子 已知这种粒子只可能有2个自由度 (因为Lorentz群表示下 helicity只可能是1和-1) 但如果用向量场A_u(x)来描述它 无可避免会有4个自由度 所以需要2个约束 现在先把A_u写成动量空间表示 A_u(x)=E_u(p)*e^(ipx) (不会在ptt打数学符号 所以这里积分符号 或者之後的求和符号 就先省略) 可以施加像是Lorentz gauge一样的约束 p^u*E_u(p)=0 但即使如此 还是多出了一个自由度 为了更清楚看到 这个自由度对应的是甚麽 不失一般性 可以取坐标轴p=(M,0,0,M) 把spin 1 massless粒子两个helicity自由度对应的向量场写成 E^(±)=(0,1/sqrt(2),±i/sqrt(2),0) 於是E_u=αE^+_u+βE^-_u 很容易验证 在Lorentz变换下 E_u会变换成 E_u → (ΛE)_u+Ω*(Λp)_u 这满足Lorentz gauge的约束条件 但这带来一个矛盾...那就是 我们明明已经用光了两个helicity的自由度和另外多加的约束 来表示这个粒子的向量场了 但在Lorentz变换下 却发现依然没法唯一指定它所对应的向量场 然而如果要求Lorentz不变 那麽这应该得对应同样的粒子物理状态 所以 唯一的解决方法 就是要求 E_u ~ E_u+Ω(p)p_u 是等价态 也就是 对应的是同样的粒子物理状态 换回去A_u(x)的话 那就是 A ~ A+▽Ω 这就是规范变换! 所以 如果要求一个spin 1的massless粒子的向量场 满足Lorentz变换下不变 那麽规范变换的结构 或者 冗余 就会自然出现 Weinberg的书 虽然notation和式子看起来复杂很多 但想强调的其实根本上也是一样的 只是顺序有点反过来 他是在说 massless的spin 1粒子场算符 不足以组成四维向量场的Lorentz群表示 而如果要是坚持用spin 1 massless粒子场来描述四维向量场的Lorentz表示 那麽无可避免就会出现规范变换的自由度 这套论证甚至可以进一步推广在spin 2的无质量规范粒子上 带来的结果 就是 若是要求满足Lorentz变换下不变 那麽就会出现广义相对论的等效原理 你会发现 像是Nima的论证 其实根本没用到甚麽场论 甚至Weinberg本人60年代最早得出类似结论时 也是从S矩阵的结构和其他假设出发 并没有特别使用场论的语言 其实 规范冗余的来源 终究是在於: Lorentz group的群表示告诉了你 在满足Lorentz变换下 四维向量场和spin 1无质量粒子 两者的自由度是对不上的 所以 使用向量场来描述 总是会有冗余的自由度 但在使用拉氏量来建构理论的QFT 这种表述几乎是无可避免的 只是这个论证是用在无质量的规范粒子 对於怎麽理解规范对称破缺後 带质量的规范粒子...我也不了解 ............................................................................ 说点题外感想 Weinberg之所以会有Lorentz不变的要求 自然会带来规范冗余的视角 很大程度 应该跟他经历过S矩阵理论盛行有关 (而且当初就是在S-matrix理论最盛行地方Berkeley待很多年) 不考虑底层结构是不是QFT 只从一些普遍性原理和假设出发的S矩阵方法 在60年代盛行一时 虽然後来因为QCD的成功 而少被教科书提及 不过近年这种S矩阵的方法近些年似乎又有很多新的突破 (Nima就是这方面的专家) 我之所以想要多说这些 是因为我觉得 现在很多QFT的教科书或者教学 往往将整个QFT的架构 描述的太"乾净"了 尤其是越新的教科书 里面介绍的QFT是越来越乾净 却反而更加单一 好像物理学家是很自然地就接受了QFT一样 但不只因为 这不是真正的历史发展 QFT是曾经被放弃过一阵子的理论 另一方面 我觉得这对培养真正物理思维的物理学家而言 也不是很好的教学方式 当然 我了解 随着QFT方法学的应用范围越来越广 不只限於高能也需要学习和使用QFT 也随着现在对年轻学生 尽快上手完成project的压力越来越大 能快点训练出 会算费曼图的物理学家 或许更符合这个目标 但正是因为从QFT出发 算可观测物理量的传统方法 很多情况下过於复杂 从普遍性原理出发的S矩阵方法 反而在某些情况下能带来新的计算视角 发现更加简洁的关系或方法 才又会找到新生命 ............................................................................ 最後 关於你问到 为甚麽global的Lorentz变换 最後会得到local的规范变换要求 这是个好问题...我暂时也没有很好的物理回答 不过 其实在quantum gravity中一直有着着名的猜想 那是没有真正的global symmetry 这个至今依然是很前沿的研究领域 但也不知道跟你的这个问题会不会有直接相关 所以就不班门弄斧了 --

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