※ 引述《deepfirer (大手要保護小手-b)》之銘言： : 標題: [問題]一題國中的資優數學問題 : 時間: Tue Apr 3 12:07:21 2007 : : 1-1000,哪些數字洽可分成五種連續奇數和... : 例: : 225= 225 第一種 : =73+75+77 第二種 : =41+43+45+47+49 第三種 : =17+19+21+23+25+27+29+31+33 第四種 : =1+3+5+7+.....+29 第五種 : : 請問有幾個數字符合這個條件 : 請告知原因..... : 國中資優班數學題目 : : -- :

※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc) : ◆ From: 140.128.209.152 : 推 rehearttw:要「恰」五種還真不容易。我想想看... 04/03 12:40 : 推 rehearttw:題目應該限制「連續正奇數」和 04/03 12:53 : 推 rehearttw:奇數有五個：225,441,405,567,891：恰有9或10個正因數 04/03 13:06 抱歉！當時解出奇數，馬上要參加比賽，所以沒有繼續 後來高手陸續解出來，所以就放下來 現在提出較完整的解法： ------------------------------- 設符合的數字為 x，x為正整數，1<=x<=1000 設表示法的項數為 n，n為正整數 一、若 n 為正奇數，設其一種表示法為 (a為正整數) x = (a-n+1) + (a-n+3) + ... + (a-2) + a + (a+2) + (a+4) + ... + (a+n-1) = an 明顯 a 為正奇數，故 x 為正奇數 而 a-n+1>0 ， a>n-1 知 a >= n a 與 n 均為 x 的正因數，而 (a,n) 恰有五組解 則 x 為恰有 9 個正因數，或恰有 10 個正因數 （x 質因數分解完後，正因數個數 = 指數加 1 相乘） (一)若 x 恰有一個質因數 則考慮最小可能為 x = 3^8 = 6581 超出範圍 (二)若 x 恰有兩個質因數，則 (1) x 恰有 9 個正因數時，（(2+1)(2+1)=9） x = 3^2‧5^2 = 225 x = 3^2‧7^2 = 441 x = 3^2‧11^2 = 1089 超出範圍 x = 5^2‧7^2 = 1225 超出範圍 (2) x 恰有 10 個正因數時，（(4+1)(1+1)=9） x = 3^4‧5 = 405 x = 3^4‧7 = 567 x = 3^4‧11 = 891 x = 3^4‧13 = 1053 超出範圍 x = 5^4‧3 = 1875 超出範圍 (三)若 x 有三個以上的質因數時 例如：x = a^p‧b^q‧c^r，則 (p+1)(q+1)(r+1) 不可能等於 9 或 10，故以上無解 二、若 n 為正偶數，設其一種表示法為 (a為正整數) x = (a-n+1) + (a-n+3) + ... + (a-1) + (a+1) + (a+3) + ... + (a+n-3) + (a+n-1) = an 明顯 a 必須為正偶數（因連續奇數和），而 x 為正偶數 2|a 且 2|n 且 a-n+1>0 => a>=n 設 a=2p，n=2q，p,q 均為正整數，p>=q x = an = 4pq，1 <= x <= 1000，故 1 <= pq <= 250 (a,n) 恰有五組解，則 (p,q) 恰有五組解 且 p,q 不限制為奇數或偶數 因前之一： pq 為恰有 9 個正因數，或恰有 10 個正因數 (一)若 pq 恰有一個質因數 則考慮最小可能為 pq = 2^8 = 256 超出範圍 (二)若 pq 恰有兩個質因數，則 (1) pq 恰有 9 個正因數時，（(2+1)(2+1)=9） pq = 2^2‧3^2 = 36 x = 144 pq = 2^2‧5^2 = 100 x = 400 pq = 2^2‧7^2 = 196 x = 784 pq = 2^2‧11^2 = 484 超出範圍 pq = 3^2‧5^2 = 225 x = 900 pq = 3^2‧7^2 = 441 超出範圍 pq = 5^2‧7^2 = 1225 超出範圍 (2) pq 恰有 10 個正因數時，（(4+1)(1+1)=9） pq = 2^4‧3 = 48 x = 192 pq = 2^4‧5 = 80 x = 320 pq = 2^4‧7 = 112 x = 448 pq = 2^4‧11 = 176 x = 704 pq = 2^4‧13 = 208 x = 832 pq = 2^4‧17 = 272 超出範圍 pq = 3^4‧2 = 162 x = 648 pq = 3^4‧5 = 405 超出範圍 pq = 5^4‧2 = 1250 超出範圍 (三)若 pq 有三個以上的質因數時，則同前一(三)所述無解 將所有答案從小排列到大為 144 , 192 , 225 , 320 , 400 , 405 , 441 , 448 , 567 , 648 , 704 , 784 , 832 , 891 , 900 -- rehearttw 許老師（Reheart-易懷），愛生公式，愛胡思亂想 自 1980 年摸魔術方塊，1981 年學基本公式，2006 年學 CFOP 個人魔術方塊網頁 http://rubiks.tw/~reheart/Rubiks-cube.htm 縮網址：http://rubiks.tw/Yhec （95/4/7更新、95/6/28改版、95/12/12換址） 益智玩具：http://rubiks.tw/~reheart/puzzle.htm 縮網址 http://rubiks.tw/EjKQ 請多多指教！ --

※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc) ◆ From: 124.8.92.111 ※ 編輯: rehearttw 來自: 124.8.92.111 (04/14 06:25)