※ 引述《deepfirer (大手要保护小手-b)》之铭言： : 标题: [问题]一题国中的资优数学问题 : 时间: Tue Apr 3 12:07:21 2007 : : 1-1000,哪些数字洽可分成五种连续奇数和... : 例: : 225= 225 第一种 : =73+75+77 第二种 : =41+43+45+47+49 第三种 : =17+19+21+23+25+27+29+31+33 第四种 : =1+3+5+7+.....+29 第五种 : : 请问有几个数字符合这个条件 : 请告知原因..... : 国中资优班数学题目 : : -- :

※ 发信站: 批踢踢实业坊(ptt.cc) : ◆ From: 140.128.209.152 : 推 rehearttw:要「恰」五种还真不容易。我想想看... 04/03 12:40 : 推 rehearttw:题目应该限制「连续正奇数」和 04/03 12:53 : 推 rehearttw:奇数有五个：225,441,405,567,891：恰有9或10个正因数 04/03 13:06 抱歉！当时解出奇数，马上要参加比赛，所以没有继续 後来高手陆续解出来，所以就放下来 现在提出较完整的解法： ------------------------------- 设符合的数字为 x，x为正整数，1<=x<=1000 设表示法的项数为 n，n为正整数 一、若 n 为正奇数，设其一种表示法为 (a为正整数) x = (a-n+1) + (a-n+3) + ... + (a-2) + a + (a+2) + (a+4) + ... + (a+n-1) = an 明显 a 为正奇数，故 x 为正奇数 而 a-n+1>0 ， a>n-1 知 a >= n a 与 n 均为 x 的正因数，而 (a,n) 恰有五组解 则 x 为恰有 9 个正因数，或恰有 10 个正因数 （x 质因数分解完後，正因数个数 = 指数加 1 相乘） (一)若 x 恰有一个质因数 则考虑最小可能为 x = 3^8 = 6581 超出范围 (二)若 x 恰有两个质因数，则 (1) x 恰有 9 个正因数时，（(2+1)(2+1)=9） x = 3^2‧5^2 = 225 x = 3^2‧7^2 = 441 x = 3^2‧11^2 = 1089 超出范围 x = 5^2‧7^2 = 1225 超出范围 (2) x 恰有 10 个正因数时，（(4+1)(1+1)=9） x = 3^4‧5 = 405 x = 3^4‧7 = 567 x = 3^4‧11 = 891 x = 3^4‧13 = 1053 超出范围 x = 5^4‧3 = 1875 超出范围 (三)若 x 有三个以上的质因数时 例如：x = a^p‧b^q‧c^r，则 (p+1)(q+1)(r+1) 不可能等於 9 或 10，故以上无解 二、若 n 为正偶数，设其一种表示法为 (a为正整数) x = (a-n+1) + (a-n+3) + ... + (a-1) + (a+1) + (a+3) + ... + (a+n-3) + (a+n-1) = an 明显 a 必须为正偶数（因连续奇数和），而 x 为正偶数 2|a 且 2|n 且 a-n+1>0 => a>=n 设 a=2p，n=2q，p,q 均为正整数，p>=q x = an = 4pq，1 <= x <= 1000，故 1 <= pq <= 250 (a,n) 恰有五组解，则 (p,q) 恰有五组解 且 p,q 不限制为奇数或偶数 因前之一： pq 为恰有 9 个正因数，或恰有 10 个正因数 (一)若 pq 恰有一个质因数 则考虑最小可能为 pq = 2^8 = 256 超出范围 (二)若 pq 恰有两个质因数，则 (1) pq 恰有 9 个正因数时，（(2+1)(2+1)=9） pq = 2^2‧3^2 = 36 x = 144 pq = 2^2‧5^2 = 100 x = 400 pq = 2^2‧7^2 = 196 x = 784 pq = 2^2‧11^2 = 484 超出范围 pq = 3^2‧5^2 = 225 x = 900 pq = 3^2‧7^2 = 441 超出范围 pq = 5^2‧7^2 = 1225 超出范围 (2) pq 恰有 10 个正因数时，（(4+1)(1+1)=9） pq = 2^4‧3 = 48 x = 192 pq = 2^4‧5 = 80 x = 320 pq = 2^4‧7 = 112 x = 448 pq = 2^4‧11 = 176 x = 704 pq = 2^4‧13 = 208 x = 832 pq = 2^4‧17 = 272 超出范围 pq = 3^4‧2 = 162 x = 648 pq = 3^4‧5 = 405 超出范围 pq = 5^4‧2 = 1250 超出范围 (三)若 pq 有三个以上的质因数时，则同前一(三)所述无解 将所有答案从小排列到大为 144 , 192 , 225 , 320 , 400 , 405 , 441 , 448 , 567 , 648 , 704 , 784 , 832 , 891 , 900 -- rehearttw 许老师（Reheart-易怀），爱生公式，爱胡思乱想 自 1980 年摸魔术方块，1981 年学基本公式，2006 年学 CFOP 个人魔术方块网页 http://rubiks.tw/~reheart/Rubiks-cube.htm 缩网址：http://rubiks.tw/Yhec （95/4/7更新、95/6/28改版、95/12/12换址） 益智玩具：http://rubiks.tw/~reheart/puzzle.htm 缩网址 http://rubiks.tw/EjKQ 请多多指教！ --

※ 发信站: 批踢踢实业坊(ptt.cc) ◆ From: 124.8.92.111 ※ 编辑: rehearttw 来自: 124.8.92.111 (04/14 06:25)