※ 引述《style520 (XXYY)》之銘言： : ※ 引述《hhhtsai (莫忘初衷)》之銘言： : : 底下是小弟之前問的問題,但是有些沒有得到答案... : : 而轉學考試在即...希望版上高手能不吝嗇為小弟解答<(_ _)> : : 1. Let f(x,y) = cos (x^2 + y^2) : : Find quadratic approximation of f near the origin : : Ans: 1 + x + y : : [注]有版友認為此參考解答不合理,我也這麼認為,這只是我手邊的參考解答 : : 希望版友若有認為合理的解答或是計算過程,希望可以po出來參考 : 不然就把 cos x = 1 - x^2/2! + .... x 的地方 用 x^2+y^2取代 : f(x,y) = cos (x^2 + y^2) = 1 - (x^2 + y^2)^2/2! + .... : 不知這樣可否? 我曾想過這方法...可是從單變元代換到多變元這麼做... : : 2. The power series Σ An(x-2)^n and Σ Bn(x-3)^n both : : converge at x=6 ,find the largest interval which both series converge : : Ans: 0 < x <= 6 : : [注]本題有版友認為條件所給不足,原題確實給定的條件僅止於此 : 我覺得題目有問題，有兩個可能 : 1. 題目抄錯 不是求largest interval，而是 smallest interval : Σ An(x-2)^n 在 x=6 收歛 => 收歛半徑至少是 4 : 收歛區間至少包含 (-2,6] = A : Σ Bn(x-3)^n 在 x=6 收歛 => 收歛半徑至少是 3 : 收歛區間至少包含 (0,6] = B : 因此二級數同時收歛的 "最小" 區間 = A 交集 B = (0,6] 我原本一開始也是覺得(-∞,+∞)...只是似乎題目沒有給An,Bn任何條件 : 2. the largest interval 要看 An, Bn而定吧 : 下面有兩個例子 : 假如 An=Bn= (1/n)^n ，收歛區間=無窮大 ,當然在 x=6 也收歛 : 因此二級數同時收歛的最大區間 = 所有實數 : (1/4)^n : 若 An = --------- => 收歛區間 = [-2,6] : n^2 : (1/3)^n : Bn = ----------- => 收歛區間 = [0,6] : n^2 : 因此二級數同時收歛的最大區間 = [0,6] : : 3. 1 1 : : ∫ ────── dx : : 0 (x-1)^(a-1) : : 收斂時a之值? : : Ans: a < 1 : : [注]有版友認為本題答案應該 a < 2 ,但其實很明顯的當a = 1/2 時,本題積分函數 : : 無意義,希望若有版友有想出來能給小弟一些建議 : : 最後感謝看完這篇文章的版友 : : 如果對題目解答有所建議希望能不吝賜教 : 此題目出得不好.. : 先不論收歛，能使積分有意意的 a 很有限 : 0 < x < 1 : -1 < x-1 < 0 : x-1 恒為負, (x-1)^指數 要有意義 ，指數 不能是無理數，不能是 p/q : p,q為互質整數且q為偶數之有理數如 1/2,3/4 ... : 假設上面的條件成立 : 令 b=a-1 : 1- 1 : I=∫ ────── dx : 0 (x-1)^b : t : 若 b=1 , I= lim ln|x-1|| = ∞ (發散) : t->1- o : (x-1)^(-b+1) t : 若 b>1 , I = lim --------------| = +- ∞ (視b之值而定) (發散) : t->1- -b+1 0 : (x-1)^(-b+1) t (-1)^(-b+1) : 若 b<1 , I = lim --------------| = - -------- (收斂) : t->1- -b+1 0 -b+1 : b<1 => a-1<1 => a<2 : 故 a<2 時收歛 ，但a要滿足上面所說的條件 : 如 a=1/2 , 1/4 , π/2 ..... 時積分無意義! (此處不討論虛數) 恩恩 感謝 由於這份卷子我是在最近才拿到 也找不到老師求解了 所以只能跟版上各位討論 我想 我大概理解了~~謝啦 --

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