※ 引述《style520 (XXYY)》之铭言： : ※ 引述《hhhtsai (莫忘初衷)》之铭言： : : 底下是小弟之前问的问题,但是有些没有得到答案... : : 而转学考试在即...希望版上高手能不吝啬为小弟解答<(_ _)> : : 1. Let f(x,y) = cos (x^2 + y^2) : : Find quadratic approximation of f near the origin : : Ans: 1 + x + y : : [注]有版友认为此参考解答不合理,我也这麽认为,这只是我手边的参考解答 : : 希望版友若有认为合理的解答或是计算过程,希望可以po出来参考 : 不然就把 cos x = 1 - x^2/2! + .... x 的地方 用 x^2+y^2取代 : f(x,y) = cos (x^2 + y^2) = 1 - (x^2 + y^2)^2/2! + .... : 不知这样可否? 我曾想过这方法...可是从单变元代换到多变元这麽做... : : 2. The power series Σ An(x-2)^n and Σ Bn(x-3)^n both : : converge at x=6 ,find the largest interval which both series converge : : Ans: 0 < x <= 6 : : [注]本题有版友认为条件所给不足,原题确实给定的条件仅止於此 : 我觉得题目有问题，有两个可能 : 1. 题目抄错 不是求largest interval，而是 smallest interval : Σ An(x-2)^n 在 x=6 收歛 => 收歛半径至少是 4 : 收歛区间至少包含 (-2,6] = A : Σ Bn(x-3)^n 在 x=6 收歛 => 收歛半径至少是 3 : 收歛区间至少包含 (0,6] = B : 因此二级数同时收歛的 "最小" 区间 = A 交集 B = (0,6] 我原本一开始也是觉得(-∞,+∞)...只是似乎题目没有给An,Bn任何条件 : 2. the largest interval 要看 An, Bn而定吧 : 下面有两个例子 : 假如 An=Bn= (1/n)^n ，收歛区间=无穷大 ,当然在 x=6 也收歛 : 因此二级数同时收歛的最大区间 = 所有实数 : (1/4)^n : 若 An = --------- => 收歛区间 = [-2,6] : n^2 : (1/3)^n : Bn = ----------- => 收歛区间 = [0,6] : n^2 : 因此二级数同时收歛的最大区间 = [0,6] : : 3. 1 1 : : ∫ ────── dx : : 0 (x-1)^(a-1) : : 收敛时a之值? : : Ans: a < 1 : : [注]有版友认为本题答案应该 a < 2 ,但其实很明显的当a = 1/2 时,本题积分函数 : : 无意义,希望若有版友有想出来能给小弟一些建议 : : 最後感谢看完这篇文章的版友 : : 如果对题目解答有所建议希望能不吝赐教 : 此题目出得不好.. : 先不论收歛，能使积分有意意的 a 很有限 : 0 < x < 1 : -1 < x-1 < 0 : x-1 恒为负, (x-1)^指数 要有意义 ，指数 不能是无理数，不能是 p/q : p,q为互质整数且q为偶数之有理数如 1/2,3/4 ... : 假设上面的条件成立 : 令 b=a-1 : 1- 1 : I=∫ ────── dx : 0 (x-1)^b : t : 若 b=1 , I= lim ln|x-1|| = ∞ (发散) : t->1- o : (x-1)^(-b+1) t : 若 b>1 , I = lim --------------| = +- ∞ (视b之值而定) (发散) : t->1- -b+1 0 : (x-1)^(-b+1) t (-1)^(-b+1) : 若 b<1 , I = lim --------------| = - -------- (收敛) : t->1- -b+1 0 -b+1 : b<1 => a-1<1 => a<2 : 故 a<2 时收歛 ，但a要满足上面所说的条件 : 如 a=1/2 , 1/4 , π/2 ..... 时积分无意义! (此处不讨论虚数) 恩恩 感谢 由於这份卷子我是在最近才拿到 也找不到老师求解了 所以只能跟版上各位讨论 我想 我大概理解了~~谢啦 --

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