※ 引述《topractise (睡覺中)》之銘言： : limit要用實數 是因為實數能在實軸上表示 才能"趨近"某數嗎? 不是一定要用實數 基本上 limit是要先建立在metric space上 (聽不懂沒關係) 這樣說好了 你要討論的所要"要求"任意靠近("要有多近就有多近") 必須發生在有距離意義的空間或場所中 而real number axis(即你所謂的實數軸)剛好只不過是其中一個這樣的場所 那要什麼樣的條件下才能達到這種"要有多近就有多近"的結果呢? 這時就需要一個domain 它可以對應到剛剛我們講的那個space 比如如果是實數軸上的sequence, domain通常就是natural number N 而limit定義要求的就是足碼(下標)足夠大 (n趨近無限大; 其實應該說:要有多大 就能多大) 大到能應付你的"接近程度"要求 如果是function的limit, domain就是function的domain 而metric space有太多了 RxR(實平面) R^3(實三度空間) C(複平面)...都是 其實還可以建構出很多可以做極限的空間(蠻抽象的 高微一開始就講這個) 實數軸只不過是其中之一罷了 : 又limit是指"任意"趨近某數 阿我們現在只有教到左右兩邊的趨近而已 : 難道"任意"趨近 就不會從其它地方趨近了嗎?? : 補習班還沒開課 所以在這裡問小問題 不好意思... 如同我剛剛講的 如果你的function可以討論limit 它的domain又比如說是R^2 那就是平面上任意方向囉 如果是domin是R^3 就是你用肉眼可以感覺到的"任意"方向 實數軸之所以只從左右兩邊 是因為實數軸的幾何維度是1 就像一隻只能在直線上爬的螞蟻(比方說) 來來去去就是前進 不然後退 放到一張紙上才能比較亂爬 --------------------------- 最後我要說 上面的討論看起來好像不怎樣 但我很佩服Cauchy 在他以前的數學工作者 是不大有這樣清楚的觀念 如果沒有清楚的極限觀念 學到導函數時 你會常常問自己 是0/0嗎? 兩個無窮小量怎麼相除? Cauchy光是做出極限對於微積分分析的工作 就永垂不朽了 (何況他搞出一大堆東西, 產量僅次Euler) 基本上我剛剛所講的 就是極限ε-δ定義的想法 主要功勞是Cauchy和Weierstrass --

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