作者jackyoff (jk)
看板trans_math
標題Re: [考古] 銘傳92年，資科系，第5題
時間Sat May 6 03:55:51 2006
※ 引述《playfrancis (米勒)》之銘言：
: 求f(x)=ln(1+x)的馬克勞林
Macraurin級數為泰勒級數在c=0時的一個特例：
c=0 => f(X)=Σk=0~∞ f^k(c)*X^k /k! =f(0) + f'(0)*X /1! + f"(0)*X^2 /2! + ...
+f^n(0)*X^n /n!
f(x) = ln(1+x)
d/dx ln(1+x)=1/(1+x)
∵1/(1+x)的Macraurin級數展開為：
1–X + X^2 –X^3 + ... –[(-1)^n] * X^n + ....
∴ln(1+x)的Macraurin級數展開為：
亅(1–X + X^2 –X^3 + ... –[(-1)^n] * X^n + .... ) dx
= X – 1/2 * X^2 + 1/3 * X^3 – 1/4 * X^4 + …… -(-1)^n * 1/(n+1)X^(n+1)
到此為正解
至於為何1/(1+x)的Macraurin級數展開為
1–X + X^2 –X^3 + ... –[(-1)^n] * X^n + ....
請先將f(0) = 1/(1+x) 代入泰勒級數中，整理後即可導出
這個算是常用公式，要背喔
這題就算是運用到此公式的經典題型
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