作者crazymars (隨心所欲)
看板trans_math
標題Re: [極限 ]關關於 epsilon-delta論證法
時間Wed May 24 11:49:13 2006
※ 引述《ilovecurl (ilovecurl)》之銘言：
: 此論證法的δ該如何選擇
: 以下列這題為例,能否說明一下δ是怎麼確定出來的
: lim x->c 1/x=1/c,c!=0
: 看詳解都是直接就有選擇 for any ε>0,存在δ<=min{(εc^2)/2,|c|/2}
: 那兩個取min的值是怎麼來的,不明白請高手指教
: 感謝!
剛開始都差不多
目標是 for all ε>0 存在δ=δ(c,ε)
s.t. if |x-c| < δ then |1/x - 1/c|<.....<ε這裡往往是題目的關鍵
|1/x - 1/c|=|(c-x)/xc| < |x-c|/|xc| < δ/|x||c|----(1)
發現分母不是定數 想要fix他 但是手上唯一有的定值就是c所以要利用c
let |x-c|<|c|/2 =>c-|c|/2 < x < c+|c|/2....(2) (註一)
如果c>0 c/2 < x < 3c/2
c<0 3c/2 < x < c/2 => |c|/2 < |x| < |c|/2
所以帶入(1)中得
|1/x - 1/c|=|(c-x)/xc| < |x-c|/|xc| < δ/|x||c| <δ/|c|(|c|/2)=2δ/c^2=ε
所以得到δ=(εc^2)/2 又(2)
所以δ= min { (εc^2)/2 , |c|/2 }
這是想法 不過要寫證明可以簡潔一點
for all ε>0 存在δ=min { (εc^2)/2 , |c|/2 }
s.t. if |x-c| < δ
|1/x - 1/c|=|(c-x)/xc| < |x-c|/|xc| < δ/|x||c| <δ/|c|(|c|/2)=2δ/c^2=ε
(let |x-c|<|c|/2 =>c-|c|/2 < x < c+|c|/2 => |c|/2 < |x| < |c|/2) ##
(註一) 為什麼要取|c|/2其實只是要避開0點
其實取|c|/k都可以 只要k>1
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