作者crazymars (随心所欲)
看板trans_math
标题Re: [极限 ]关关於 epsilon-delta论证法
时间Wed May 24 11:49:13 2006
※ 引述《ilovecurl (ilovecurl)》之铭言：
: 此论证法的δ该如何选择
: 以下列这题为例,能否说明一下δ是怎麽确定出来的
: lim x->c 1/x=1/c,c!=0
: 看详解都是直接就有选择 for any ε>0,存在δ<=min{(εc^2)/2,|c|/2}
: 那两个取min的值是怎麽来的,不明白请高手指教
: 感谢!
刚开始都差不多
目标是 for all ε>0 存在δ=δ(c,ε)
s.t. if |x-c| < δ then |1/x - 1/c|<.....<ε这里往往是题目的关键
|1/x - 1/c|=|(c-x)/xc| < |x-c|/|xc| < δ/|x||c|----(1)
发现分母不是定数 想要fix他 但是手上唯一有的定值就是c所以要利用c
let |x-c|<|c|/2 =>c-|c|/2 < x < c+|c|/2....(2) (注一)
如果c>0 c/2 < x < 3c/2
c<0 3c/2 < x < c/2 => |c|/2 < |x| < |c|/2
所以带入(1)中得
|1/x - 1/c|=|(c-x)/xc| < |x-c|/|xc| < δ/|x||c| <δ/|c|(|c|/2)=2δ/c^2=ε
所以得到δ=(εc^2)/2 又(2)
所以δ= min { (εc^2)/2 , |c|/2 }
这是想法 不过要写证明可以简洁一点
for all ε>0 存在δ=min { (εc^2)/2 , |c|/2 }
s.t. if |x-c| < δ
|1/x - 1/c|=|(c-x)/xc| < |x-c|/|xc| < δ/|x||c| <δ/|c|(|c|/2)=2δ/c^2=ε
(let |x-c|<|c|/2 =>c-|c|/2 < x < c+|c|/2 => |c|/2 < |x| < |c|/2) ##
(注一) 为什麽要取|c|/2其实只是要避开0点
其实取|c|/k都可以 只要k>1
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