作者tsungjen (湛紅)
看板trans_math
標題Re: [微積]橢圓的問題
時間Tue Jun 13 00:54:45 2006
※ 引述《PILIO (PILIO)》之銘言：
: 我手邊有一題不會解的 懇請高手賜教～感恩～
: 兩個橢圓 (x^2/n^2) + y^2 = 1
: x^2 + (y^2/n^2) = 1
: n不為0，交集的部分稱為An
: 求An的面積還有周長
step1:求交點
x^2
--- + y^2 =1 -----(1)
n^2
y^2
x^2 + ----=1 => y^2=n^2(1-x^2) 代入(1)
n^2
x^2 n^2
--- + n^2(1-x^2) =1 => x^2 = ------
n^2 1+n^2
step2:先找第一象限的面積
√(n^2/1+n^2) x^2
∫ √(1- ---)dx (先積四分之一,然後再扣掉正方形面積)
0 n^2
n^2 1
令 x=nsinΘ dx=cosΘdΘ 又由 x=nsinΘ=√(-------) => sinΘ=√(-----)
1+n^2 1+n^2
1
=>Θ=sin-1 √(------) (不好意思,由於Θ太複雜,以下角度皆以Θ代表)
1+n^2
Θ 1 cos2Θ 1
原式=∫ ncos^2ΘdΘ = ---Θ + -------- - ----- (畫圖有助於了解!!)
0 2 4 4
n
PS:cos2Θ=----------- =>可以畫圖找到
√(4+n^2)
這個面積為正方形加上其上面曲線的面積,令這個面積為a
step3:找出交集面積
n^2
正方形面積為之前算過的x^2=------- 並令其為b
1+n^2
交集面積 = 8(a-b)+4b = 8a-4b
感謝您,耐著性子看到這裡,看完之後想必已經累,因為小弟不會畫圖,所以解法變得很複雜
如果有更好的解法,十分感謝指教^^
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