作者tsungjen (湛红)
看板trans_math
标题Re: [微积]椭圆的问题
时间Tue Jun 13 00:54:45 2006
※ 引述《PILIO (PILIO)》之铭言：
: 我手边有一题不会解的 恳请高手赐教～感恩～
: 两个椭圆 (x^2/n^2) + y^2 = 1
: x^2 + (y^2/n^2) = 1
: n不为0，交集的部分称为An
: 求An的面积还有周长
step1:求交点
x^2
--- + y^2 =1 -----(1)
n^2
y^2
x^2 + ----=1 => y^2=n^2(1-x^2) 代入(1)
n^2
x^2 n^2
--- + n^2(1-x^2) =1 => x^2 = ------
n^2 1+n^2
step2:先找第一象限的面积
√(n^2/1+n^2) x^2
∫ √(1- ---)dx (先积四分之一,然後再扣掉正方形面积)
0 n^2
n^2 1
令 x=nsinΘ dx=cosΘdΘ 又由 x=nsinΘ=√(-------) => sinΘ=√(-----)
1+n^2 1+n^2
1
=>Θ=sin-1 √(------) (不好意思,由於Θ太复杂,以下角度皆以Θ代表)
1+n^2
Θ 1 cos2Θ 1
原式=∫ ncos^2ΘdΘ = ---Θ + -------- - ----- (画图有助於了解!!)
0 2 4 4
n
PS:cos2Θ=----------- =>可以画图找到
√(4+n^2)
这个面积为正方形加上其上面曲线的面积,令这个面积为a
step3:找出交集面积
n^2
正方形面积为之前算过的x^2=------- 并令其为b
1+n^2
交集面积 = 8(a-b)+4b = 8a-4b
感谢您,耐着性子看到这里,看完之後想必已经累,因为小弟不会画图,所以解法变得很复杂
如果有更好的解法,十分感谢指教^^
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