作者RAINDD (標籤貼爽了沒？)
看板trans_math
標題Re: [微分] 證明不等式
時間Fri Nov 10 19:01:53 2006
※ 引述《GayerDior (蠟筆小新<(￣.￣)/)》之銘言：
: [79 中山]
: x^2
: 證明 e^x > 1+x+ ----- (x>0)
: 2
: 如果有人會寫，
: 請幫我寫出詳細過程，
: 謝謝~~~^_^/
這種用微積分來證明不等式，很典型，概念很容易。
"造一個函數，若此函數在區間內的最小值＞0，則保證此函數＞0"
證明：
考慮一函數 f(x) = exp(x) - 1 - x - x^2 / 2
f'(x) = exp(x) - 1 - x ；f''(x) = exp(x) - 1 。
對所有的 x ＞ 0 ，f''(x) ＞ 0 ，∴ 得知當 x ＞ 0 時， f'(x) 為遞增函數。
因此 f'(0) 為 f'(x) 的最小值。
又 f'(0) = 0 ，∴ 又得知當 x ＞ 0 時， f'(x) ＞ f'(0) ==> f'(x) ＞ 0
因此又得知當 x ＞ 0 時，f(x) 為遞增函數。
f(0) 為 f(x) 最小值 ==> f(x) ＞ f(0) ＞ 0 ==> exp(x) - 1 - x - x^2 / 2 ＞ 0
==> exp(x) ＞ 1 + x + x^2 / 2 for any x ＞ 0 Q.E.D
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◆ From: 61.64.93.146
※ 編輯: RAINDD 來自: 61.64.93.146 (11/10 19:02)
1F：推 GayerDior:謝謝!!^^/ 61.229.155.227 11/10 23:58
2F：推 axis0801:其實f"(x)>0 還必須要由 f'"(x)>0 來證明 61.62.121.187 11/12 06:52
3F：→ RAINDD: ↑，同意 61.64.93.146 11/13 00:58
4F：推 GayerDior:同意!! 樓↑↑ 61.229.156.75 11/14 23:55