作者RAINDD (标签贴爽了没？)
看板trans_math
标题Re: [微分] 证明不等式
时间Fri Nov 10 19:01:53 2006
※ 引述《GayerDior (蜡笔小新<(￣.￣)/)》之铭言：
: [79 中山]
: x^2
: 证明 e^x > 1+x+ ----- (x>0)
: 2
: 如果有人会写，
: 请帮我写出详细过程，
: 谢谢~~~^_^/
这种用微积分来证明不等式，很典型，概念很容易。
"造一个函数，若此函数在区间内的最小值＞0，则保证此函数＞0"
证明：
考虑一函数 f(x) = exp(x) - 1 - x - x^2 / 2
f'(x) = exp(x) - 1 - x ；f''(x) = exp(x) - 1 。
对所有的 x ＞ 0 ，f''(x) ＞ 0 ，∴ 得知当 x ＞ 0 时， f'(x) 为递增函数。
因此 f'(0) 为 f'(x) 的最小值。
又 f'(0) = 0 ，∴ 又得知当 x ＞ 0 时， f'(x) ＞ f'(0) ==> f'(x) ＞ 0
因此又得知当 x ＞ 0 时，f(x) 为递增函数。
f(0) 为 f(x) 最小值 ==> f(x) ＞ f(0) ＞ 0 ==> exp(x) - 1 - x - x^2 / 2 ＞ 0
==> exp(x) ＞ 1 + x + x^2 / 2 for any x ＞ 0 Q.E.D
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◆ From: 61.64.93.146
※ 编辑: RAINDD 来自: 61.64.93.146 (11/10 19:02)
1F：推 GayerDior:谢谢!!^^/ 61.229.155.227 11/10 23:58
2F：推 axis0801:其实f"(x)>0 还必须要由 f'"(x)>0 来证明 61.62.121.187 11/12 06:52
3F：→ RAINDD: ↑，同意 61.64.93.146 11/13 00:58
4F：推 GayerDior:同意!! 楼↑↑ 61.229.156.75 11/14 23:55