※ 引述《kidd0717 (胖)》之銘言： : 最近進度到重積分..好難好難好難 : 範圍界定真的很困難.. : 例如以下這題 不知道有人可以詳細的說明他的範圍是怎麼界定出來的嗎? : 2 (2x-x^2)^1/2 : ∫ ∫ (x^2+y^2)^(-1/2) dydx : 1 2 : 算法應該是令x=rcosΘ,y=rsinΘ : 可是接下來r和Θ的範圍是多少我就不會算了.. : 先感謝了^^ http://www.pbase.com/colacola111/image/79292894 可以看到y的積分範圍要調一下才不會亂掉 原式變成 2 2 - ∫ ∫ (x^2+y^2)^(-1/2) dydx 1 (2x-x^2)^1/2 要轉極座標的話,必須分成綠色與黃色兩塊區域 首先就綠色的區域討論r跟θ的範圍: 看得出來r先碰到半圓之後碰到x=2 半圓為 y=(2x-x^2)^1/2 => x^2+y^2=2x => r^2=2rcosθ => r=2cosθ x=2=rcosθ => r=2secθ 看到θ從0跑到紫色的線 紫色的線為 y=x => 此時θ為π/4 所以綠色的區域為:{(r,θ)|2cosθ≦r≦2secθ, 0≦θ≦π/4} 再來就黃色的區域討論r與θ的範圍: 看得出來r先碰到x=1之後碰到y=2 x=1=rcosθ => r=secθ y=2=rsinθ => r=2cscθ 看到θ從紫色的線跑到藍色的線 紫色的線為θ=π/4 藍色的線為 y=2x => rsinθ=2rcosθ => tanθ=2 => θ=arctan2 所以黃色的區域為:{(r,θ)|secθ≦r≦2cscθ , π/4≦θ≦arctan2} 原式會變成 π/4 2secθ arctan2 2cscθ - [∫ ∫ (r^-1)rdrdθ+∫ ∫ (r^-1)rdrdθ] 0 2cosθ π/4 secθ 跟ahongyeh的算式是一樣的 當然考試時不需要寫那麼詳細啦 純粹是要讓原PO知道積分範圍從哪來的 最重要的是要把圖畫出來 範圍才不會出錯 不過這題黃色的區域用極座標似乎有點勉強@@|| 我也想不出更好的方式就是了 囧 這題真的討厭 --

※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc) ◆ From: 59.117.75.236 ※ 編輯: goshfju 來自: 59.117.75.236 (05/24 03:59)