※ 引述《kidd0717 (胖)》之铭言： : 最近进度到重积分..好难好难好难 : 范围界定真的很困难.. : 例如以下这题 不知道有人可以详细的说明他的范围是怎麽界定出来的吗? : 2 (2x-x^2)^1/2 : ∫ ∫ (x^2+y^2)^(-1/2) dydx : 1 2 : 算法应该是令x=rcosΘ,y=rsinΘ : 可是接下来r和Θ的范围是多少我就不会算了.. : 先感谢了^^ http://www.pbase.com/colacola111/image/79292894 可以看到y的积分范围要调一下才不会乱掉 原式变成 2 2 - ∫ ∫ (x^2+y^2)^(-1/2) dydx 1 (2x-x^2)^1/2 要转极座标的话,必须分成绿色与黄色两块区域 首先就绿色的区域讨论r跟θ的范围: 看得出来r先碰到半圆之後碰到x=2 半圆为 y=(2x-x^2)^1/2 => x^2+y^2=2x => r^2=2rcosθ => r=2cosθ x=2=rcosθ => r=2secθ 看到θ从0跑到紫色的线 紫色的线为 y=x => 此时θ为π/4 所以绿色的区域为:{(r,θ)|2cosθ≦r≦2secθ, 0≦θ≦π/4} 再来就黄色的区域讨论r与θ的范围: 看得出来r先碰到x=1之後碰到y=2 x=1=rcosθ => r=secθ y=2=rsinθ => r=2cscθ 看到θ从紫色的线跑到蓝色的线 紫色的线为θ=π/4 蓝色的线为 y=2x => rsinθ=2rcosθ => tanθ=2 => θ=arctan2 所以黄色的区域为:{(r,θ)|secθ≦r≦2cscθ , π/4≦θ≦arctan2} 原式会变成 π/4 2secθ arctan2 2cscθ - [∫ ∫ (r^-1)rdrdθ+∫ ∫ (r^-1)rdrdθ] 0 2cosθ π/4 secθ 跟ahongyeh的算式是一样的 当然考试时不需要写那麽详细啦 纯粹是要让原PO知道积分范围从哪来的 最重要的是要把图画出来 范围才不会出错 不过这题黄色的区域用极座标似乎有点勉强@@|| 我也想不出更好的方式就是了 囧 这题真的讨厌 --

※ 发信站: 批踢踢实业坊(ptt.cc) ◆ From: 59.117.75.236 ※ 编辑: goshfju 来自: 59.117.75.236 (05/24 03:59)