※ 引述《kidd0717 (胖)》之銘言： : 最近進度到重積分..好難好難好難 : 範圍界定真的很困難.. : 例如以下這題 不知道有人可以詳細的說明他的範圍是怎麼界定出來的嗎? : 2 (2x-x^2)^1/2 : ∫ ∫ (x^2+y^2)^(-1/2) dydx : 1 2 : 算法應該是令x=rcosΘ,y=rsinΘ : 可是接下來r和Θ的範圍是多少我就不會算了.. : 先感謝了^^ 把內層積分上下限對調 (整個積分結果變號). 積分範圍描繪出來, 是 R = {(x,y): 1≦x≦2, √(2x-x^2)≦y≦2} = ((x,y): 1≦x≦2, (x-1)^2+y^2≧1, 0≦y≦2} 那是 1≦x≦2, 0≦y≦2 下方被挖去 (x-1)^2+y^2≦1 一 部分. 前面的回答都根據原 po 說用極座標變換. 可是原題目有 要求極座標變換否? 若沒有限制, 無妨考認直接做. 內層 (x^2+y^2)^{-1/2} 對 y 積分, 不妨直接利用公式; 或採 y = x sec(u) 的變換. 於是 2 2 ∫∫ 1/√(x^2+y^2) dy dx 0 √(2x-x^2) 2 = ∫ ln{[2+√(4+x^2)]/[√(2x-x^2)+√(2x)]} dx 0 做分部積分, 得 原式 = 2ln(1+√2)-ln(2+√5) 2 x/√(4+x^2) (1-x)/√(2x-x^2) + 1/√(2x) - ∫ x [ ------------- - ----------------------------- ] dx 1 2+√(4+x^2) √(2x-x^2) + √(2x) 經一番代數化簡, 成為 原式 = 2ln(1+√2)-ln(2+√5) 2 √(2x) - √(2x-x^2) 1-x 1 -∫ --------------------- [ ------------ + -------- ] dx 1 x √(2x-x^2) √(2x) = 2ln(1+√2)-ln(2+√5) 2 √2 - √(2-x) 1-x 1 -∫ --------------- [ -------- + ----- ] dx 1 x √(2-x) √2 取 u=√(2-x) 的變換即可算出. -- 來自統計專業的召喚... 批踢踢實業站 telnet://ptt.cc Statistics (統計學及統計軟體版) 無名小站 telnet://wretch.twbbs.org Statistics (統計方法討論區) 成大計中站 telnet://bbs.ncku.edu.tw Statistics (統計方法及學理討論區) 盈月與繁星 telnet://ms.twbbs.org Statistics (統計：讓數字說話) 交大資訊次世代 telnet://bs2.twbbs.org Statistics (統計與機率) --

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