※ 引述《kidd0717 (胖)》之铭言： : 最近进度到重积分..好难好难好难 : 范围界定真的很困难.. : 例如以下这题 不知道有人可以详细的说明他的范围是怎麽界定出来的吗? : 2 (2x-x^2)^1/2 : ∫ ∫ (x^2+y^2)^(-1/2) dydx : 1 2 : 算法应该是令x=rcosΘ,y=rsinΘ : 可是接下来r和Θ的范围是多少我就不会算了.. : 先感谢了^^ 把内层积分上下限对调 (整个积分结果变号). 积分范围描绘出来, 是 R = {(x,y): 1≦x≦2, √(2x-x^2)≦y≦2} = ((x,y): 1≦x≦2, (x-1)^2+y^2≧1, 0≦y≦2} 那是 1≦x≦2, 0≦y≦2 下方被挖去 (x-1)^2+y^2≦1 一 部分. 前面的回答都根据原 po 说用极座标变换. 可是原题目有 要求极座标变换否? 若没有限制, 无妨考认直接做. 内层 (x^2+y^2)^{-1/2} 对 y 积分, 不妨直接利用公式; 或采 y = x sec(u) 的变换. 於是 2 2 ∫∫ 1/√(x^2+y^2) dy dx 0 √(2x-x^2) 2 = ∫ ln{[2+√(4+x^2)]/[√(2x-x^2)+√(2x)]} dx 0 做分部积分, 得 原式 = 2ln(1+√2)-ln(2+√5) 2 x/√(4+x^2) (1-x)/√(2x-x^2) + 1/√(2x) - ∫ x [ ------------- - ----------------------------- ] dx 1 2+√(4+x^2) √(2x-x^2) + √(2x) 经一番代数化简, 成为 原式 = 2ln(1+√2)-ln(2+√5) 2 √(2x) - √(2x-x^2) 1-x 1 -∫ --------------------- [ ------------ + -------- ] dx 1 x √(2x-x^2) √(2x) = 2ln(1+√2)-ln(2+√5) 2 √2 - √(2-x) 1-x 1 -∫ --------------- [ -------- + ----- ] dx 1 x √(2-x) √2 取 u=√(2-x) 的变换即可算出. -- 来自统计专业的召唤... 批踢踢实业站 telnet://ptt.cc Statistics (统计学及统计软体版) 无名小站 telnet://wretch.twbbs.org Statistics (统计方法讨论区) 成大计中站 telnet://bbs.ncku.edu.tw Statistics (统计方法及学理讨论区) 盈月与繁星 telnet://ms.twbbs.org Statistics (统计：让数字说话) 交大资讯次世代 telnet://bs2.twbbs.org Statistics (统计与机率) --

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