※ 引述《youyouyou (這就是人生阿)》之銘言： : ※ 引述《ahongyeh (小葉子)》之銘言： : : Which of the following statements is True? : : ∞ 1 : : (b) ∫ --- dx is convergent. : : 0 x^2 : : 2 : : ∞ 2 -x : : (d) ∫ x e dx = 0 (式一) : : -∞ : let : u=x : 2 : -x : x e dv 所以是... 2 2 ∞ 2 -x -1 ∞ -x ∫ x e dx = --- ∫ x‧(-2x)‧e dx -∞ 2 -∞ ┌ 2 2 ┐ -1 │ -x │∞ ∞ -x │ = --- │xe │ － ∫ e dx │ 2 │ │-∞ -∞ │ └ ┘ -1 √π = ---‧(-√π) = ----- 2 2 後面那個積分式~~ 我用極座標轉換~~ 就把兩個∞，變成只有一個∞~~ 這樣做果然踏實多了~~ 我原本會想用 Gamma function 應該是直覺所致~~ 因為我這類型的題目習慣就用 Gamma function 或是 Beta function~~ 可是我剛剛又用 Gamma function 做了一下~~ 好像可以說 @.@ 2 ∞ 2 -x (d) ∫ x e dx -∞ 2 l i m b 2 -x = b→∞ ∫ x e dx a→-∞ a 2 2 b 2 -x a 2 -x = lim ∫ x e dx ─ lim ∫ x e dx b→∞ 0 a→-∞ 0 令 c = -a , dc = -da 2 2 b 2 -x c 2 -x = lim ∫ x e dx ＋ lim ∫ x e dx b→∞ 0 c→∞ 0 Γ(3/2) Γ(3/2) = --------- ＋ --------- 2 2 = Γ(3/2) 1 √π = ---‧√π = ------- 2 2 : 2 2 : -x a ∞ -x : 會產出 = -xe | (這一項必0) + ∫ 0.5 e dx : -b -∞ : 2 : 1 ∞ -x/2 : 後面那東西你學過常態分布就知道 ---- ∫ e dx =1 ( 沒有記得很熟, 但是 : 2pi -∞ 這個積分是個常數) : a,b 趨近無限大 : 所以後面那個你經過適當的變數代換可算出答案 : 所以不會等於0 : 所有原因是你 取 u dv 取錯 : : 剛開始看到這選項~~ : : 心裡就猜他是不是在考∞有沒有一樣~~ : : 於是我化簡了一下~~ : : dt : : 令 t = x^2, dt = 2xdx, dx = ------- : : 2 √t : : l i m b^2 -t 1 : : 原式 = b→∞ ∫ t e ------- dt (式二) : : a→-∞ a^2 2 √t : : 做到這邊我更肯定他是要考∞有沒有一樣~~ : : 但再繼續做下去....就.... : : l i m b^2 √t -t : : = b→∞ ∫ ----- e dt (式三) : : a→-∞ a^2 2 : : 做到這邊~~順手就想要用 Gamma function 來做... : : ┌ ┐ : : 1 │ b^2 (1/2) -t a^2 (1/2) -t │ : : = ---│ lim ∫ t e dt ─ lim ∫ t e dt │ (式四) : : 2 │ b→∞ 0 a→-∞ 0 │ : : └ ┘ : : 做到這裡才想到.... : : 如果都代 Gamma function 的話， : : 那麼這個答案就會是0~~ : : 而我肯定 b 選項一定是對的~~ (意即d選項是錯的) : : 我在想，是不是 Gamma function 中的∞是一視同仁呢!? : : 有人可以跟我說哪邊觀念錯誤嗎!? : : 麻煩強者了.... --

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