※ 引述《youyouyou (这就是人生阿)》之铭言： : ※ 引述《ahongyeh (小叶子)》之铭言： : : Which of the following statements is True? : : ∞ 1 : : (b) ∫ --- dx is convergent. : : 0 x^2 : : 2 : : ∞ 2 -x : : (d) ∫ x e dx = 0 (式一) : : -∞ : let : u=x : 2 : -x : x e dv 所以是... 2 2 ∞ 2 -x -1 ∞ -x ∫ x e dx = --- ∫ x‧(-2x)‧e dx -∞ 2 -∞ ┌ 2 2 ┐ -1 │ -x │∞ ∞ -x │ = --- │xe │ － ∫ e dx │ 2 │ │-∞ -∞ │ └ ┘ -1 √π = ---‧(-√π) = ----- 2 2 後面那个积分式~~ 我用极座标转换~~ 就把两个∞，变成只有一个∞~~ 这样做果然踏实多了~~ 我原本会想用 Gamma function 应该是直觉所致~~ 因为我这类型的题目习惯就用 Gamma function 或是 Beta function~~ 可是我刚刚又用 Gamma function 做了一下~~ 好像可以说 @.@ 2 ∞ 2 -x (d) ∫ x e dx -∞ 2 l i m b 2 -x = b→∞ ∫ x e dx a→-∞ a 2 2 b 2 -x a 2 -x = lim ∫ x e dx ─ lim ∫ x e dx b→∞ 0 a→-∞ 0 令 c = -a , dc = -da 2 2 b 2 -x c 2 -x = lim ∫ x e dx ＋ lim ∫ x e dx b→∞ 0 c→∞ 0 Γ(3/2) Γ(3/2) = --------- ＋ --------- 2 2 = Γ(3/2) 1 √π = ---‧√π = ------- 2 2 : 2 2 : -x a ∞ -x : 会产出 = -xe | (这一项必0) + ∫ 0.5 e dx : -b -∞ : 2 : 1 ∞ -x/2 : 後面那东西你学过常态分布就知道 ---- ∫ e dx =1 ( 没有记得很熟, 但是 : 2pi -∞ 这个积分是个常数) : a,b 趋近无限大 : 所以後面那个你经过适当的变数代换可算出答案 : 所以不会等於0 : 所有原因是你 取 u dv 取错 : : 刚开始看到这选项~~ : : 心里就猜他是不是在考∞有没有一样~~ : : 於是我化简了一下~~ : : dt : : 令 t = x^2, dt = 2xdx, dx = ------- : : 2 √t : : l i m b^2 -t 1 : : 原式 = b→∞ ∫ t e ------- dt (式二) : : a→-∞ a^2 2 √t : : 做到这边我更肯定他是要考∞有没有一样~~ : : 但再继续做下去....就.... : : l i m b^2 √t -t : : = b→∞ ∫ ----- e dt (式三) : : a→-∞ a^2 2 : : 做到这边~~顺手就想要用 Gamma function 来做... : : ┌ ┐ : : 1 │ b^2 (1/2) -t a^2 (1/2) -t │ : : = ---│ lim ∫ t e dt ─ lim ∫ t e dt │ (式四) : : 2 │ b→∞ 0 a→-∞ 0 │ : : └ ┘ : : 做到这里才想到.... : : 如果都代 Gamma function 的话， : : 那麽这个答案就会是0~~ : : 而我肯定 b 选项一定是对的~~ (意即d选项是错的) : : 我在想，是不是 Gamma function 中的∞是一视同仁呢!? : : 有人可以跟我说哪边观念错误吗!? : : 麻烦强者了.... --

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