※ 引述《ting301 (交給五樓)》之銘言： : Problem : Find the volumn of the solid cut from x^2 + y^2 + z^2 = 4 : by the (x+1)^2 + y^2 = 1 : 我有兩種寫法請幫我看一下 : 一開始是 : SS 2(4-x^2-y^2)^1/2 dxdy : (x+1)^2 + y^2=1 : 補上積分範圍後有兩種寫法 : (1) 3pi/2 -2cost 1/2 : S S 2(4 - r^2) rdrdt : pi/2 0 那我就幫你做第一式~~ 2 令 u = 4 - r , du = -2rdr 2 3π/2 4sin t => ∫ ∫ -√u du dt π/2 4 ┌ ┐ 3π/2 │ 2 (3/2) │(2sint)^2 │ = -∫ │--- u │ │ dt π/2 │ 3 │4 │ └ ┘ ┌ ┐ 2 3π/2 │ 3 │ = - --- ∫ ││2sint│ - 8 │ dt 3 π/2 │ │ └ ┘ 16 2 3π/2 3 = ---π - ---∫ 8│sint│ dt 3 3 π/2 為了節省計算時間~~ 令 θ = t - π , dθ = dt 16 16 π/2 3 => ---π - ---∫ │-sinθ│ dθ (even) 3 3 -π/2 16 32 π/2 3 = ---π - ---∫ sin θ dθ (積分範圍都大於零，絕對值拿掉) 3 3 0 16 32 2 = ---π - ---‧--- (By Wallis' Formula) 3 3 3 16 64 = ---π - --- 3 9 : (2) pi -2cost 1/2 : 2 S S 2(4-r^2) rdrdt : pi/2 0 : 差別在於 : 第一式用全範圍微積分 : 第二適用半範圍成以二 : 答案卻不同 : 16 64 : 解答給 ---pi - --- : 3 9 : 第二式積分才是對的 : 為什麼第一式不行呢???? --

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