作者pcboy0831 (在海灘上種花)
看板trans_math
標題Re: [積分]今年政大微積分考題~
時間Sun Jul 8 17:32:43 2007
※ 引述《fattybb (我愛小肚寶~)》之銘言：
: 1 X-1
: ∫ ----- dx = ???
: 0 lnX
: 拜託各位高手了~~
有兩種作法
1
1. Let F(t) = ∫ (x^t - 1)/lnx dx
0
then it's obvious that F(0) = 0
1
∫(x-1)/lnx dx = F(1) - 0 = F(1) - F(0)
0
1
F(1) - F(0) 可以寫成 ∫(dF/dt) dt = F(1) - F(0)
0
1 1
dF/dt = (d/dt)∫ (x^t - 1)/lnx dx = ∫ (d/dt)((x^t - 1)/lnx) dx
0 0
利用指數微分的公式 f^g --> (f^g) * ( (f'/f)g + (g')ln|f| )
1 x=1
= ∫ x^t dx = (x^(t+1))/(t+1) | = 1/(1+t)
0 x=0
1
代回去, 得到 F(1) - F(0) = ∫ 1/(1+t) dt = ln2
0 #
2. 作法二, 令 u = ln(x) , e^u = x , (e^u)du = dx
1 0
∫ (x-1)/lnx dx = ∫((e^(2u) - e^u)/u )du
0 -∞
將 e^(2u) - e^u 視作是另一個積分, 範圍 [u,2u]
0 2u
= ∫ ∫(e^t)/u dtdu
-∞ u
利用積分順序互換
0 t
= ∫ ∫ (e^t)/u dudt
-∞ t/2
= ln2
#
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僅供參考
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※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc)
◆ From: 125.232.3.188
1F：推 HUJIKOLP:太強了~能問你第2法積分範圍怎麼交集的嗎140.116.117.206 07/08 17:41
2F：→ HUJIKOLP:看不出她能那樣fubini轉換積分140.116.117.206 07/08 17:42
3F：推 HUJIKOLP:看懂了不用解釋了@@!140.116.117.206 07/08 17:46
4F：推 fatan:這題在第七十篇就解過類似的 59.124.63.210 07/08 18:39
5F：→ fatan:原PO這題是政大金融九一年的考古題吧 59.124.63.210 07/08 18:39
6F：→ fatan:順便推pcboy0831是超強者orz 59.124.63.210 07/08 18:41
7F：→ MiyaKami:強 61.217.160.73 07/08 19:41
8F：推 ROGER2004070:其實這題是95台聯大第7題(B)的類似題 140.113.138.35 07/08 19:52
9F：→ ROGER2004070:我在3490篇寫的就是王博的解法 140.113.138.35 07/08 19:52
10F：推 ht15trep:超強的啦= =b 124.8.19.51 07/08 22:10
11F：推 goshfju:作法二很神 怎麼想到的阿 囧 218.167.72.149 07/09 00:27
12F：推 HUJIKOLP:這題讓我知道我哪裡不足~太感謝啦140.116.117.206 07/09 00:56
13F：→ HUJIKOLP:@@!不過這類題目我到有一題做不出來140.116.117.206 07/09 00:57
14F：推 dreamroyc:高手! 61.230.8.225 07/09 01:34
15F：→ sioumi:快記起來 法2把e那個當另一積分好厲害 59.113.51.168 07/09 01:58
16F：推 youyouyou:這題沒有挾積分的問題嗎? 61.229.56.56 07/09 02:24
17F：推 HUJIKOLP:是暇積分沒錯阿140.116.117.206 07/09 02:34
18F：→ HUJIKOLP:不過它算來不尼茲的應用題型140.116.117.206 07/09 02:34
19F：→ HUJIKOLP:第一次算它還以為是gamma悶到140.116.117.206 07/09 02:35