作者pcboy0831 (在海滩上种花)
看板trans_math
标题Re: [积分]今年政大微积分考题~
时间Sun Jul 8 17:32:43 2007
※ 引述《fattybb (我爱小肚宝~)》之铭言：
: 1 X-1
: ∫ ----- dx = ???
: 0 lnX
: 拜托各位高手了~~
有两种作法
1
1. Let F(t) = ∫ (x^t - 1)/lnx dx
0
then it's obvious that F(0) = 0
1
∫(x-1)/lnx dx = F(1) - 0 = F(1) - F(0)
0
1
F(1) - F(0) 可以写成 ∫(dF/dt) dt = F(1) - F(0)
0
1 1
dF/dt = (d/dt)∫ (x^t - 1)/lnx dx = ∫ (d/dt)((x^t - 1)/lnx) dx
0 0
利用指数微分的公式 f^g --> (f^g) * ( (f'/f)g + (g')ln|f| )
1 x=1
= ∫ x^t dx = (x^(t+1))/(t+1) | = 1/(1+t)
0 x=0
1
代回去, 得到 F(1) - F(0) = ∫ 1/(1+t) dt = ln2
0 #
2. 作法二, 令 u = ln(x) , e^u = x , (e^u)du = dx
1 0
∫ (x-1)/lnx dx = ∫((e^(2u) - e^u)/u )du
0 -∞
将 e^(2u) - e^u 视作是另一个积分, 范围 [u,2u]
0 2u
= ∫ ∫(e^t)/u dtdu
-∞ u
利用积分顺序互换
0 t
= ∫ ∫ (e^t)/u dudt
-∞ t/2
= ln2
#
--
仅供参考
--
--
※ 发信站: 批踢踢实业坊(ptt.cc)
◆ From: 125.232.3.188
1F：推 HUJIKOLP:太强了~能问你第2法积分范围怎麽交集的吗140.116.117.206 07/08 17:41
2F：→ HUJIKOLP:看不出她能那样fubini转换积分140.116.117.206 07/08 17:42
3F：推 HUJIKOLP:看懂了不用解释了@@!140.116.117.206 07/08 17:46
4F：推 fatan:这题在第七十篇就解过类似的 59.124.63.210 07/08 18:39
5F：→ fatan:原PO这题是政大金融九一年的考古题吧 59.124.63.210 07/08 18:39
6F：→ fatan:顺便推pcboy0831是超强者orz 59.124.63.210 07/08 18:41
7F：→ MiyaKami:强 61.217.160.73 07/08 19:41
8F：推 ROGER2004070:其实这题是95台联大第7题(B)的类似题 140.113.138.35 07/08 19:52
9F：→ ROGER2004070:我在3490篇写的就是王博的解法 140.113.138.35 07/08 19:52
10F：推 ht15trep:超强的啦= =b 124.8.19.51 07/08 22:10
11F：推 goshfju:作法二很神 怎麽想到的阿 囧 218.167.72.149 07/09 00:27
12F：推 HUJIKOLP:这题让我知道我哪里不足~太感谢啦140.116.117.206 07/09 00:56
13F：→ HUJIKOLP:@@!不过这类题目我到有一题做不出来140.116.117.206 07/09 00:57
14F：推 dreamroyc:高手! 61.230.8.225 07/09 01:34
15F：→ sioumi:快记起来 法2把e那个当另一积分好厉害 59.113.51.168 07/09 01:58
16F：推 youyouyou:这题没有挟积分的问题吗? 61.229.56.56 07/09 02:24
17F：推 HUJIKOLP:是暇积分没错阿140.116.117.206 07/09 02:34
18F：→ HUJIKOLP:不过它算来不尼兹的应用题型140.116.117.206 07/09 02:34
19F：→ HUJIKOLP:第一次算它还以为是gamma闷到140.116.117.206 07/09 02:35