因為被扣了15分~~所以部份的解答還是有未盡其善之處~~參考囉!　orz 初微版的成大考古題缺很大...都沒人發表一下...有錯請指正 -1 x+1 -1 1. 證 tan (-----) + tan x = C (constant) 並求 C 值 x-1 ^^^^^^^^^^^^^^^^^^^此部份令為 f(x) => f'(x)=0 得證 　 將 x=1(x>0), x=0, x=-1(x<0)個別代入 f(x)可求出 C值 Ans:0, 3π/4, -π/4 n n ∞ (-1)(x-4) 2. Σ ----------- 問的是收斂區間和級數和 Ans: (3,5] n=0 n + 1 2 -1 ∫ tan (x/2) dx -1 0 3. 求f(x)=tan (x/2) 在 [0,2] 的平均值 = ----------------- Ans: π/8 2 - 0 　　 π/2 tanx 4. ∫ ----------- dx 　(a) x=π/2, lncosx = -∞ 所以x=π/2為瑕點 π/3 (lncosx)^2 (b) 只要令 lncosx = y 兩邊對x微分 => -tanx dx = dy y從-ln2積到-∞ -∞ 變成 ∫ (1/y^2) (-dy) 的積分 Ans: 1/ln2 -ln2 → → → 5. r(t) = (cost + tsint)i + (sint - tcost)j 是位置對時間t的函數 (a)求證速度ds/dt = t　　　只要將r(t)做一次微分再求其純量大小即為 t (b)求證其加速度為 切線加速度aT=1 和 向心加速度aN=t 為平方和關係 　　　因此再將 r'(t)微分可得加速度值為 √(1+t^2) = √(aT^2 + aN^2) 6. 找出曲面 z^2 + xy - 2x - y^2 = 1 上所有切點，且其切面要與 z=2平行 　 因為曲面梯度▽f(x,y,z)= <y-2, x-2y, 2z> 要和 z=2 平行,其法向量(0,0,1) 　 Ans: 參數式 x=4, y=2 z=t, t(-R 7. f(x,y)= 6x^2 -8x + 2y^2 -5 在區域 x^2 + y^2≦1 的極值? 將區域內 x^2 + y^2 < 1 和 x^2 + y^2=1 分別討論 　　　　　 ^^^^^^^^^^^^^^　　^^^^^^^^^^^　　　　　　　　 　　　　　無限制叢集求極值 有限制條件求極值(Lagrange乘數法) 　　　　Ans: 有極小值-23/3　 Ans: 有極小值-7 極大值9 臨界點(2/3, 0) 臨界點(1,0), (-1,0) 2/3 2/3 8. 求 x + y = 1 星芒線(內擺線)　在 x=1/8　的切線方程式 L 　 (a)可用隱微分方式對上式微分 => 該點斜率 dy/dx |x=1/8 = -3/2 x=1/8 => y= ±(3/4)^(3/2) => L: y=(-3/2)(x- 1/8) ± (3/4)^(2/3) 有兩條 (b)再做一次隱微分，代入(a)中的兩個切點計算出 d^2y/dx^2 的值，會有兩組答案 cos[(x-y)/2] 9. 求∫∫-------------- dA 之值...　這是典型的線性變換重積.. R 3x + y 積分區域 y=x, y=x-π, y=-3x+3, y=-3x+6 6 π cos(u/2) 　 令 u=x-y, v=3x+y 計算出 |J|= 1/4 變為 (1/4)*∫∫ --------- dudv 3 0 v 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 Ans: (1/2)ln2 10. 求: 球 x^2 _+ y^2 + z^2 =4 被圓柱面 (x-1)^2 + y^2 = 1 內部 S 所限制部份 　　　　的曲面面積 　　先取上半球 z=√(1- x^2- y^2) 計算z個別對x和y的偏微分 z_x, z_y 由面曲積 = ∫∫√(1+(z_x)^2+(z_y)^2) dσ　再利用極座標轉換 |J|=r 　　　　　　　　 S 積分範圍是 r: 0→cosθ, θ: -π/2 →π/2 求出積分值 --

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