因为被扣了15分~~所以部份的解答还是有未尽其善之处~~参考罗!　orz 初微版的成大考古题缺很大...都没人发表一下...有错请指正 -1 x+1 -1 1. 证 tan (-----) + tan x = C (constant) 并求 C 值 x-1 ^^^^^^^^^^^^^^^^^^^此部份令为 f(x) => f'(x)=0 得证 　 将 x=1(x>0), x=0, x=-1(x<0)个别代入 f(x)可求出 C值 Ans:0, 3π/4, -π/4 n n ∞ (-1)(x-4) 2. Σ ----------- 问的是收敛区间和级数和 Ans: (3,5] n=0 n + 1 2 -1 ∫ tan (x/2) dx -1 0 3. 求f(x)=tan (x/2) 在 [0,2] 的平均值 = ----------------- Ans: π/8 2 - 0 　　 π/2 tanx 4. ∫ ----------- dx 　(a) x=π/2, lncosx = -∞ 所以x=π/2为瑕点 π/3 (lncosx)^2 (b) 只要令 lncosx = y 两边对x微分 => -tanx dx = dy y从-ln2积到-∞ -∞ 变成 ∫ (1/y^2) (-dy) 的积分 Ans: 1/ln2 -ln2 → → → 5. r(t) = (cost + tsint)i + (sint - tcost)j 是位置对时间t的函数 (a)求证速度ds/dt = t　　　只要将r(t)做一次微分再求其纯量大小即为 t (b)求证其加速度为 切线加速度aT=1 和 向心加速度aN=t 为平方和关系 　　　因此再将 r'(t)微分可得加速度值为 √(1+t^2) = √(aT^2 + aN^2) 6. 找出曲面 z^2 + xy - 2x - y^2 = 1 上所有切点，且其切面要与 z=2平行 　 因为曲面梯度▽f(x,y,z)= <y-2, x-2y, 2z> 要和 z=2 平行,其法向量(0,0,1) 　 Ans: 参数式 x=4, y=2 z=t, t(-R 7. f(x,y)= 6x^2 -8x + 2y^2 -5 在区域 x^2 + y^2≦1 的极值? 将区域内 x^2 + y^2 < 1 和 x^2 + y^2=1 分别讨论 　　　　　 ^^^^^^^^^^^^^^　　^^^^^^^^^^^　　　　　　　　 　　　　　无限制丛集求极值 有限制条件求极值(Lagrange乘数法) 　　　　Ans: 有极小值-23/3　 Ans: 有极小值-7 极大值9 临界点(2/3, 0) 临界点(1,0), (-1,0) 2/3 2/3 8. 求 x + y = 1 星芒线(内摆线)　在 x=1/8　的切线方程式 L 　 (a)可用隐微分方式对上式微分 => 该点斜率 dy/dx |x=1/8 = -3/2 x=1/8 => y= ±(3/4)^(3/2) => L: y=(-3/2)(x- 1/8) ± (3/4)^(2/3) 有两条 (b)再做一次隐微分，代入(a)中的两个切点计算出 d^2y/dx^2 的值，会有两组答案 cos[(x-y)/2] 9. 求∫∫-------------- dA 之值...　这是典型的线性变换重积.. R 3x + y 积分区域 y=x, y=x-π, y=-3x+3, y=-3x+6 6 π cos(u/2) 　 令 u=x-y, v=3x+y 计算出 |J|= 1/4 变为 (1/4)*∫∫ --------- dudv 3 0 v 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 Ans: (1/2)ln2 10. 求: 球 x^2 _+ y^2 + z^2 =4 被圆柱面 (x-1)^2 + y^2 = 1 内部 S 所限制部份 　　　　的曲面面积 　　先取上半球 z=√(1- x^2- y^2) 计算z个别对x和y的偏微分 z_x, z_y 由面曲积 = ∫∫√(1+(z_x)^2+(z_y)^2) dσ　再利用极座标转换 |J|=r 　　　　　　　　 S 积分范围是 r: 0→cosθ, θ: -π/2 →π/2 求出积分值 --

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