※ 引述《m493401253 (m)》之銘言： : ※ [本文轉錄自 Math 看板 #1DQq854s ] : 作者: m493401253 (m) 看板: Math : 標題: [微積] 二階偏微求極值觀念 : 時間: Mon Feb 28 14:34:42 2011 : 最近在幫個朋友解決一些微積分上的疑惑，發現我對於這部分的觀念非常薄弱 : 有請板上的高人指點~~ : 書上是這樣寫的： : [Second Partial Test] : Let f have continuous second partial derivatives on an open region containing : a point (a,b) for which f (a,b)=0 and f (a,b)=0 : x y : the test for relative extrema of f,consider the quantity : d=f (a,b)*f (a,b) - [f (a,b)]^2 : xx yy xy : (1) If d>0 and f (a,b)>0 , then f has a relative minimum at (a,b) : xx : (2) If d>0 and f (a,b)<0 , then f has a relative maxmium at (a,b) : xx : (3) If d<0 , then (a,b,f(a,b)) is a saddle point : (4) The test is inconclusive if d=0 : 這個看不太懂~(以前修課時好像就是把它硬背起來~教授我對不起你Orz) : 我想知道那個d是怎麼得到的~還有為何看d 和 f 的正負就能知道是極大或極小值發生處 : xx d 就是 Hessian matrix D^2f 在 (a,b) 的行列式值 如果 f_{xx}(a,b) > 0 且 d > 0 由假設可以得到 d = AB - C^2 > 0 A = f_{xx}(a,b) , B = f_{yy}(a,b) , C = f_{xy}(a,b) = f_{yx}(a,b) => AB > C^2 ≧ 0 但 A > 0 所以 B > 0 可以得到 D^2f(a,b) 是 positive definite 的 ( 在這點附近凹口向上 ) 因此會在 (a,b) 產生最小值 同理 , f_{xx}(a,b) < 0 且 d > 0 則 D^2f(a,b) 是 negative definite 因此會在 (a,b) 產生最大值 如果 d < 0 , 則 D^2f(a,b) 的兩個 eigenvalue 分別為一正一負 會產生 saddle point 如果 d = 0 , 什麼情況都有可能 例如 1. local maximum f(x,y) = 1 - x^2, (a,b) = (0,0) 2. local minimum f(x,y) = x^2, (a,b) = (0,0) 3. saddle point f(x,y) = (y-x^2)(y-2x^2), (a,b) = (0,0) : 另外，書上還提及可以將d改寫成二階行列式值的表示法 : │f (a,b) f (a,b)│ : │ xx xy │ : d=│ │ : │f (a,b) f (a,b)│ : │ yx yy │ : 這個我有看懂~只是想問： : 當變數三個以上時，是不是也可以同理用三階行列式表示d，在看其中一變數的二次偏微 : 的正負判斷極大極小值發生處？ 這個可能有點問題 ? 基本上就判斷 Hessian matrix 的 eigenvalue 全正 : 最小值 全負 : 最大值 有正有負 : saddle point 這東西很久沒碰了 可能有些錯誤... : 先謝謝各位了!! --

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