※ 引述《m493401253 (m)》之铭言： : ※ [本文转录自 Math 看板 #1DQq854s ] : 作者: m493401253 (m) 看板: Math : 标题: [微积] 二阶偏微求极值观念 : 时间: Mon Feb 28 14:34:42 2011 : 最近在帮个朋友解决一些微积分上的疑惑，发现我对於这部分的观念非常薄弱 : 有请板上的高人指点~~ : 书上是这样写的： : [Second Partial Test] : Let f have continuous second partial derivatives on an open region containing : a point (a,b) for which f (a,b)=0 and f (a,b)=0 : x y : the test for relative extrema of f,consider the quantity : d=f (a,b)*f (a,b) - [f (a,b)]^2 : xx yy xy : (1) If d>0 and f (a,b)>0 , then f has a relative minimum at (a,b) : xx : (2) If d>0 and f (a,b)<0 , then f has a relative maxmium at (a,b) : xx : (3) If d<0 , then (a,b,f(a,b)) is a saddle point : (4) The test is inconclusive if d=0 : 这个看不太懂~(以前修课时好像就是把它硬背起来~教授我对不起你Orz) : 我想知道那个d是怎麽得到的~还有为何看d 和 f 的正负就能知道是极大或极小值发生处 : xx d 就是 Hessian matrix D^2f 在 (a,b) 的行列式值 如果 f_{xx}(a,b) > 0 且 d > 0 由假设可以得到 d = AB - C^2 > 0 A = f_{xx}(a,b) , B = f_{yy}(a,b) , C = f_{xy}(a,b) = f_{yx}(a,b) => AB > C^2 ≧ 0 但 A > 0 所以 B > 0 可以得到 D^2f(a,b) 是 positive definite 的 ( 在这点附近凹口向上 ) 因此会在 (a,b) 产生最小值 同理 , f_{xx}(a,b) < 0 且 d > 0 则 D^2f(a,b) 是 negative definite 因此会在 (a,b) 产生最大值 如果 d < 0 , 则 D^2f(a,b) 的两个 eigenvalue 分别为一正一负 会产生 saddle point 如果 d = 0 , 什麽情况都有可能 例如 1. local maximum f(x,y) = 1 - x^2, (a,b) = (0,0) 2. local minimum f(x,y) = x^2, (a,b) = (0,0) 3. saddle point f(x,y) = (y-x^2)(y-2x^2), (a,b) = (0,0) : 另外，书上还提及可以将d改写成二阶行列式值的表示法 : │f (a,b) f (a,b)│ : │ xx xy │ : d=│ │ : │f (a,b) f (a,b)│ : │ yx yy │ : 这个我有看懂~只是想问： : 当变数三个以上时，是不是也可以同理用三阶行列式表示d，在看其中一变数的二次偏微 : 的正负判断极大极小值发生处？ 这个可能有点问题 ? 基本上就判断 Hessian matrix 的 eigenvalue 全正 : 最小值 全负 : 最大值 有正有负 : saddle point 这东西很久没碰了 可能有些错误... : 先谢谢各位了!! --

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