作者Eliphalet (真係廢到冇朋友)
站內trans_math
標題Re: [考古] 一致連續的問題
時間Sun Mar 20 09:01:20 2011
※ 引述《s920911 (旋轉布丁)》之銘言：
: f(x)=1+x+x^2+x^3+... 下列區間和者不為一致連續?
: (A) 0≦x≦0.5
: (B) -0.9999<x<0.9999
: (C) 0<x<0.9999
: (D) 0<x<0.5
: (E) 0<x<1
: 答案 是E
: 我想問問 B的答案不行嗎?
1F：推 znmkhxrw:B你取 [-0.99999,0.99999]這個closed111.251.227.83 03/19 00:48
2F：→ znmkhxrw:interval 蓋住B選項 因為f在這個cl.int.111.251.227.83 03/19 00:48
3F：→ znmkhxrw:連續且收斂 所以uni. cont. 在此cl.int.111.251.227.83 03/19 00:49
4F：→ yhliu:在各範圍, f(x) 的值都是 1/(1-x). 此函數在125.233.155.51 03/19 01:12
5F：→ yhliu:[-1+e,1-e], e>0, 均勻連續, 但在靠近 -1 or125.233.155.51 03/19 01:14
6F：→ yhliu:+1 不是均勻連續.125.233.155.51 03/19 01:14
7F：→ yhliu:我錯了...只是 x 靠近 1 時才不是均勻連續.125.233.155.51 03/19 01:15
8F：→ s920911:一致連續所取的x2-x1很接近→f(x2)-f(x1)61.227.99.198 03/19 23:27
9F：→ s920911:也應要很接近對嗎? 一致連續的定義不是61.227.99.198 03/19 23:28
10F：→ s920911:很清楚...61.227.99.198 03/19 23:29
這裡的一致連續指的應該是 uniformly continuous
與一般的連續差別在於 δ 的選取只跟 ε 有關而跟點的選取無關
f(x) 只定義在 (-1,1) 且
1
f(x) = --------- .
1 - x
可以考慮以下這種點 x_n := 1-1/n , y_n := 1-1/(2n)
1
| f(x_n) - f(y_n) | = ------------------ |x_n-y_n|
|(1-x_n)(1-y_n)|
= n -> ∞ as n -> ∞
因此 f 不可能為 uniformly continuous
事實上 f 在每一個不包含 1 的 閉區間 都是一致連續的
--
※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc)
◆ From: 122.127.117.147
※ 編輯: Eliphalet 來自: 122.127.117.147 (03/20 09:30)
11F：→ yhliu:雖然 1/(1-x) 在不包含 1 的區間是一致連續125.233.154.191 03/20 09:29
12F：→ yhliu:但 f(x) 只在 (-1,1) 有定義...因為 f(x) 是125.233.154.191 03/20 09:30
13F：→ yhliu:以冪級數定義, 只在 (-1,1) 等於 1/(1-x).125.233.154.191 03/20 09:30
14F：→ Eliphalet:對 那個是 typo 已經修改了122.127.117.147 03/20 09:31
15F：→ Eliphalet:靠近 -1 也可以 應該是只要右端點 < 1122.127.117.147 03/20 09:38
16F：→ Eliphalet:右邊是閉的區間都行122.127.117.147 03/20 09:39
17F：推 s920911:ㄜ，以大大們降說好像每個答案都符合一致 61.227.188.46 03/21 01:33
18F：→ s920911:連續 61.227.188.46 03/21 01:34
19F：→ Eliphalet:沒啊 最後一個不行啊122.127.117.147 03/21 07:56
20F：→ s920911:ㄜ，那大大上面說的只是右端點<1 不是這 61.227.185.92 03/21 23:31
21F：→ s920911:個意思嗎? 61.227.185.92 03/21 23:31
22F：→ Eliphalet:要右邊是閉的122.127.117.144 03/22 03:42
23F：→ yhliu:"右端點 < 1" 不是 "右端 < 1", 這差很多! 125.233.152.66 03/24 10:07
24F：→ yhliu:(-1, 0.99999], (-1,0.99999) 都是右端點<1; 125.233.152.66 03/24 10:08
25F：→ yhliu:而 (0,1) 的右端 "<1", 但右端點是 1. 125.233.152.66 03/24 10:08
26F：→ yhliu:在本例, f(x)在(-1, 0.99999],(-1,0.99999) 125.233.152.66 03/24 10:09
27F：→ yhliu:都是一致連續; 但在 (0,1) 則非一致連續. 125.233.152.66 03/24 10:10
28F：→ yhliu:又, 發現1F一個筆誤: "1/(1-x) 在不包含 1 125.233.152.66 03/24 10:12
29F：→ yhliu:的區間是一致連續" 是錯的, 是如 Eliphalet 125.233.152.66 03/24 10:12
30F：→ yhliu:說的: "在右端點小於1的區間一致連續" 才對. 125.233.152.66 03/24 10:13