作者Eliphalet (真系废到冇朋友)
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标题Re: [考古] 一致连续的问题
时间Sun Mar 20 09:01:20 2011
※ 引述《s920911 (旋转布丁)》之铭言：
: f(x)=1+x+x^2+x^3+... 下列区间和者不为一致连续?
: (A) 0≦x≦0.5
: (B) -0.9999<x<0.9999
: (C) 0<x<0.9999
: (D) 0<x<0.5
: (E) 0<x<1
: 答案 是E
: 我想问问 B的答案不行吗?
1F：推 znmkhxrw:B你取 [-0.99999,0.99999]这个closed111.251.227.83 03/19 00:48
2F：→ znmkhxrw:interval 盖住B选项 因为f在这个cl.int.111.251.227.83 03/19 00:48
3F：→ znmkhxrw:连续且收敛 所以uni. cont. 在此cl.int.111.251.227.83 03/19 00:49
4F：→ yhliu:在各范围, f(x) 的值都是 1/(1-x). 此函数在125.233.155.51 03/19 01:12
5F：→ yhliu:[-1+e,1-e], e>0, 均匀连续, 但在靠近 -1 or125.233.155.51 03/19 01:14
6F：→ yhliu:+1 不是均匀连续.125.233.155.51 03/19 01:14
7F：→ yhliu:我错了...只是 x 靠近 1 时才不是均匀连续.125.233.155.51 03/19 01:15
8F：→ s920911:一致连续所取的x2-x1很接近→f(x2)-f(x1)61.227.99.198 03/19 23:27
9F：→ s920911:也应要很接近对吗? 一致连续的定义不是61.227.99.198 03/19 23:28
10F：→ s920911:很清楚...61.227.99.198 03/19 23:29
这里的一致连续指的应该是 uniformly continuous
与一般的连续差别在於 δ 的选取只跟 ε 有关而跟点的选取无关
f(x) 只定义在 (-1,1) 且
1
f(x) = --------- .
1 - x
可以考虑以下这种点 x_n := 1-1/n , y_n := 1-1/(2n)
1
| f(x_n) - f(y_n) | = ------------------ |x_n-y_n|
|(1-x_n)(1-y_n)|
= n -> ∞ as n -> ∞
因此 f 不可能为 uniformly continuous
事实上 f 在每一个不包含 1 的 闭区间 都是一致连续的
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※ 发信站: 批踢踢实业坊(ptt.cc)
◆ From: 122.127.117.147
※ 编辑: Eliphalet 来自: 122.127.117.147 (03/20 09:30)
11F：→ yhliu:虽然 1/(1-x) 在不包含 1 的区间是一致连续125.233.154.191 03/20 09:29
12F：→ yhliu:但 f(x) 只在 (-1,1) 有定义...因为 f(x) 是125.233.154.191 03/20 09:30
13F：→ yhliu:以幂级数定义, 只在 (-1,1) 等於 1/(1-x).125.233.154.191 03/20 09:30
14F：→ Eliphalet:对 那个是 typo 已经修改了122.127.117.147 03/20 09:31
15F：→ Eliphalet:靠近 -1 也可以 应该是只要右端点 < 1122.127.117.147 03/20 09:38
16F：→ Eliphalet:右边是闭的区间都行122.127.117.147 03/20 09:39
17F：推 s920911:ㄜ，以大大们降说好像每个答案都符合一致 61.227.188.46 03/21 01:33
18F：→ s920911:连续 61.227.188.46 03/21 01:34
19F：→ Eliphalet:没啊 最後一个不行啊122.127.117.147 03/21 07:56
20F：→ s920911:ㄜ，那大大上面说的只是右端点<1 不是这 61.227.185.92 03/21 23:31
21F：→ s920911:个意思吗? 61.227.185.92 03/21 23:31
22F：→ Eliphalet:要右边是闭的122.127.117.144 03/22 03:42
23F：→ yhliu:"右端点 < 1" 不是 "右端 < 1", 这差很多! 125.233.152.66 03/24 10:07
24F：→ yhliu:(-1, 0.99999], (-1,0.99999) 都是右端点<1; 125.233.152.66 03/24 10:08
25F：→ yhliu:而 (0,1) 的右端 "<1", 但右端点是 1. 125.233.152.66 03/24 10:08
26F：→ yhliu:在本例, f(x)在(-1, 0.99999],(-1,0.99999) 125.233.152.66 03/24 10:09
27F：→ yhliu:都是一致连续; 但在 (0,1) 则非一致连续. 125.233.152.66 03/24 10:10
28F：→ yhliu:又, 发现1F一个笔误: "1/(1-x) 在不包含 1 125.233.152.66 03/24 10:12
29F：→ yhliu:的区间是一致连续" 是错的, 是如 Eliphalet 125.233.152.66 03/24 10:12
30F：→ yhliu:说的: "在右端点小於1的区间一致连续" 才对. 125.233.152.66 03/24 10:13